Question

13．已知x滿足不等式${log_{\frac{1}{2}}}{x^2}$≥${log_{\frac{1}{2}}}（3x-2）$，函數(shù)$f（x）=（{log_2}\frac{x}{4}）（{log_2}\frac{x}{2}）$．
（Ⅰ）求出x的取值范圍；   
（Ⅱ）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和對(duì)數(shù)的定義即可得到關(guān)于x的不不等式組，解得即可，
（Ⅱ）根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得到f（x）=log₂²x-3log₂x+2，再利用換元法，和二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：（Ⅰ）不等式${log_{\frac{1}{2}}}{x^2}$≥${log_{\frac{1}{2}}}（3x-2）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3x-2＞0}\\{{x}^{2}≤3x-2}\\{x≠0}\end{array}\right.$，
解得1≤x≤2，
（Ⅱ）$f（x）=（{log_2}\frac{x}{4}）（{log_2}\frac{x}{2}）$=（log₂x-2）（log₂x-1）=log₂²x-3log₂x+2，
設(shè)log₂x=t，則0≤t≤1，
∴f（t）=t²-3t+2，其對(duì)稱軸為x=$\frac{3}{2}$，
∴f（t）在[0，1]上單調(diào)遞減，
∴f（t）_max=f（0）=2，f（t）_min=f（1）=1-3+2=0，
∴f（x）的值域?yàn)閇0，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)與方程的關(guān)系，同時(shí)考查了換元法求函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題．