Question

6．已知函數(shù)g（x）=ax²-2ax+b（a＞0）在區(qū)間[1，3]上有最大值5，最小值1；設(shè)$f（x）=\frac{g（x）}{x}$．
（1）求a，b的值；
（2）若$f（|lgx-1|）+k•\frac{2}{|lgx-1|}-3k≥1$對任意x∈[1，10）∪（10，100]恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)g（x）的單調(diào)性，得到關(guān)于a，b的方程組，求出a，b的值即可；
（2）令t=|lgx-1|，則t∈（0，1]，問題轉(zhuǎn)化為$t+\frac{2+2k}{t}-3k-3≥0$對任意t∈（0，1]恒成立，令$h（t）=t+\frac{2+2k}{t}-3k-3$，t∈（0，1]，通過討論k的范圍，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，確定k的具體范圍即可．

解答 解：（1）g（x）=a（x-1）²+b-a，因為a＞0，所以g（x）在區(qū)間[1，3]上是增函數(shù)，
故$\left\{{\begin{array}{l}{g（1）=1}\\{g（3）=5}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}}\right.$．
（2）由已知可得$f（x）=x+\frac{2}{x}-2$，$f（|lgx-1|）+k•\frac{2}{|lgx-1|}-3k≥1$，
即$|lgx-1|+\frac{2}{|lgx-1|}-2+\frac{2k}{|lgx-1|}-3k≥1$，
令t=|lgx-1|，則t∈（0，1]，$t+\frac{2+2k}{t}-3k-3≥0$對任意t∈（0，1]恒成立，
令$h（t）=t+\frac{2+2k}{t}-3k-3$，t∈（0，1]，則：
①當(dāng)k=-1時，h（t）=t≥0成立；
②當(dāng)k＜-1時，$h（t）=t+\frac{2+2k}{t}-3k-3$在（0，1]上為增函數(shù)，t→0⁺時，h（t）→-∞，舍去；
③當(dāng)k＞-1時，h（t）在$（0，\sqrt{2+2k}]$上為減函數(shù)，在$[\sqrt{2+2k}，+∞）$上為增函數(shù)，
若$\sqrt{2+2k}＜1$，即$-1＜k＜-\frac{1}{2}$時，$h{（t）_{min}}=h（\sqrt{2+2k}）=2\sqrt{2+2k}-3k-3≥0$，
得$-1≤k≤-\frac{1}{9}$，∴$-1＜k＜-\frac{1}{2}$．
若$\sqrt{2+2k}≥1$，即$k≥-\frac{1}{2}$時，h（t）在（0，1]上為減函數(shù)，h（t）_min=h（1）=-k≥0，
∴$-\frac{1}{2}≤k≤0$，
綜上，k的取值范圍為[-1，0]．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的最值問題，考查換元思想、分類討論思想，是一道綜合題．