Question

9．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=k（3ⁿ-1），且a₃=27．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和與前n-1項(xiàng)和的關(guān)系求解通項(xiàng)公式．
（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和．

解答 解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=k（{3^n}-1）-k（{3^{n-1}}-1）=2k•{3^{n-1}}$${a_3}=2k•{3^2}=27$，解得$k=\frac{3}{2}$，${a_n}={3^n}$；當(dāng)n=1時(shí)，${a_1}={S_1}=k（{3^1}-1）=3={3^1}$，
綜上所述，${a_n}={3^n}（n≥2）$；…（4分）
（2）由（1）可知：na_n=n•3ⁿ，
T_n=1×3¹+2×3²+3×3³+…+（n-1）•3^n-1+n•3ⁿ，…①
3T_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，…②，
①-②得：$-2{T_n}={3^1}+{3^2}+…+{3^n}-n•{3^{n+1}}$，$-2{T_n}=\frac{{3（1-{3^n}）}}{1-3}-n•{3^{n+1}}=\frac{3}{2}（{3^n}-1）-n•{3^{n+1}}$${T_n}=\frac{{（2n-1）{3^{n+1}}+3}}{4}$．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和，考查計(jì)算能力．