【題目】已知函數(shù)，.

（1）討論函數(shù)的零點個數(shù)；

（2）設(shè)，證明：當(dāng)時，.

【答案】（1）時，無零點；時，2個零點（2）證明見解析

【解析】

分類討論，可得，分別，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，即可判斷函數(shù)的零點的個數(shù)，

當(dāng)時，不等式成立，當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可證明．

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，即，

設(shè)，

，

當(dāng)且時，，即在，上單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞遞增，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，，當(dāng)時，，

分別畫出與的圖象，如圖所示，

結(jié)合圖象可得，當(dāng)時，與的圖象只有一個交點，

即函數(shù)只有一個零點，

當(dāng)時，與的圖象沒有只有交點，即函數(shù)沒有零點，

當(dāng)時，與的圖象有兩個交點，即函數(shù)有兩個零點．

證明：當(dāng)時，，此時a取任何數(shù)都成立，

當(dāng)時，要證當(dāng)時，，只要證，

即證，

，

只要證，，

只要證，即證

設(shè)，，

，

令，，

，

當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

，

，，，

存在，使得，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，

，

成立，

即當(dāng)時，，

綜上所述：時，當(dāng)時，．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2019冠狀病毒�。�CoronaVirus Disease2019（COVID-19））是由新型冠狀病毒（2019-nCoV）引發(fā)的疾病，目前全球感染者以百萬計，我國在黨中央、國務(wù)院、中央軍委的堅強領(lǐng)導(dǎo)下，已經(jīng)率先控制住疫情，但目前疫情防控形勢依然嚴(yán)峻，湖北省中小學(xué)依然延期開學(xué)，所有學(xué)生按照停課不停學(xué)的要求，居家學(xué)習(xí)．小李同學(xué)在居家學(xué)習(xí)期間，從網(wǎng)上購買了一套高考數(shù)學(xué)沖刺模擬試卷，快遞員計劃在下午4：00～5：00之間送貨到小區(qū)門口的快遞柜中，小李同學(xué)父親參加防疫志愿服務(wù)，按規(guī)定，他換班回家的時間在下午4：30～5：00，則小李父親收到試卷無需等待的概率為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖1，在邊長為2的等邊中，分別為邊的中點，將AED沿折起，使得 ， ，得到如圖2的四棱錐A-BCDE，連結(jié)，且與交于點．

（1）求證：平面;

（2）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】自由購是通過自助結(jié)算方式購物的一種形式. 某大型超市為調(diào)查顧客使用自由購的情況，隨機抽取了100人，統(tǒng)計結(jié)果整理如下：

20以下

70以上

使用人數(shù)

3

12

17

6

4

2

0

未使用人數(shù)

0

0

3

14

36

3

0

（Ⅰ）現(xiàn)隨機抽取 1 名顧客，試估計該顧客年齡在且未使用自由購的概率；

（Ⅱ）從被抽取的年齡在使用自由購的顧客中，隨機抽取3人進一步了解情況，用表示這3人中年齡在的人數(shù)，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望；

（Ⅲ）為鼓勵顧客使用自由購，該超市擬對使用自由購的顧客贈送1個環(huán)保購物袋.若某日該超市預(yù)計有5000人購物，試估計該超市當(dāng)天至少應(yīng)準(zhǔn)備多少個環(huán)保購物袋.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的焦點為橢圓的右焦點，C的準(zhǔn)線與E交于P，Q兩點，且．

（1）求E的方程；

（2）過E的左頂點A作直線l交E于另一點B，且BO（O為坐標(biāo)原點）的延長線交E于點M，若直線AM的斜率為1，求l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，對幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)科作出過卓越貢獻.為調(diào)查中學(xué)生對這一偉大科學(xué)家的了解程度，某調(diào)查小組隨機抽取了某市的100名高中生，請他們列舉阿基米德的成就，把能列舉阿基米德成就不少于3項的稱為“比較了解”，少于三項的稱為“不太了解”.

調(diào)查結(jié)果如下：

0項

1項

2項

3項

4項

5項

5項以上

理科生（人）

1

10

17

14

14

10

4

文科生（人）

0

8

10

6

3

2

1

（1）完成如下列表，并判斷是否由的把握認(rèn)為.了解阿基米德與選擇文理科有關(guān)？

比較了解

不太了解

合計

理科生

p>

文科生

合計

（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.

（i）求抽取的文科生和理科生的人數(shù)；

（ii）從10人的樣本中隨機抽取兩人，求兩人都是文科生的概率.

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校團委對“學(xué)生性別與中學(xué)生追星是否有關(guān)”作了一次調(diào)查，利用列聯(lián)表，由計算得,參照下表:

0.01

0.05

0.025

0.010

0.005

0.001

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

得到正確結(jié)論是( )

A. 有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”

B. 有99%以上的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”

C. 在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星無關(guān)”

D. 在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下，認(rèn)為“學(xué)生性別與中學(xué)生追星有關(guān)”

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】我國古代勞動人民在筑城、筑堤、挖溝、挖渠、建倉、建囤等工程中，積累了豐富的經(jīng)驗，總結(jié)出了一套有關(guān)體積、容積計算的方法，這些方法以實際問題的形式被收入我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中.《九章算術(shù)》將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，如圖所示的陽馬三視圖，則它的體積為（ ）

A.B.1C.2D.3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在新高考改革中，打破了文理分科的“”模式，不少省份采用了“”，“”，“”等模式.其中“”模式的操作又更受歡迎，即語數(shù)外三門為必考科目，然后在物理和歷史中選考一門，最后從剩余的四門中選考兩門.某校為了了解學(xué)生的選科情況，從高二年級的2000名學(xué)生（其中男生1100人，女生900人）中，采用分層抽樣的方法從中抽取n名學(xué)生進行調(diào)查.

（1）已知抽取的n名學(xué)生中含男生110人，求n的值及抽取到的女生人數(shù)；

（2）在（1）的情況下對抽取到的n名同學(xué)“選物理”和“選歷史”進行問卷調(diào)查，得到下列2×2列聯(lián)表.請將列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為選科目與性別有關(guān)？

選物理

選歷史

合計

男生

90

女生

30

合計

（3）在（2）的條件下，從抽取的“選歷史”的學(xué)生中按性別分層抽樣再抽取5名，再從這5名學(xué)生中抽取2人了解選政治、地理、化學(xué)、生物的情況，求2人至少有1名男生的概率.

參考公式：.

0.10

0.010

0.001

2.706

6.635

10.828

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同步練習(xí)冊答案