Question

已知函數(shù)，過點P（1，0）作曲線y=f（x）的兩條切線PM，PN，切點分別為M，N．
（1）當t=2時，求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）設|MN|=g（t），試求函數(shù)g（t）的表達式．

Answer 1

【答案】分析：（1）當，對函數(shù)求導，結合導數(shù)可求函數(shù)f（x）的單調遞增區(qū)間
（2）設M、N兩點的橫坐標分別為x₁、x₂，利用導數(shù)的幾何意義可得切線MP的方程，由過（1，0）可，代入可得x₁，x₂滿足x²+2tx-t=0．由方程的思想可得，代入可求
解答：解：（1）當，--------（2分）

解得或--------（4分）
則函數(shù)f（x）有單調遞增區(qū)間為--------（5分）
（2）設M、N兩點的橫坐標分別為x₁、x₂，
∵
∴切線MP的方程為
∴…（8分）
同理，由切線PN也過點（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的兩根，
∴（*）

把（*）式代入，得，
因此，函數(shù)g（t）=--------------（15分）
點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導數(shù)求解函數(shù)的單調區(qū)間，及導數(shù)的幾何意義：導數(shù)在某點處的導數(shù)值即為改點的切線的斜率的應用．