6.如圖,四棱錐P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△PAD都是等邊三角形,則直線PC與平面ABCD所成角的正切值為( 。
A.$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$B.$\sqrt{5}$C.$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$D.$\sqrt{2}$

分析 取BD中點O,連結(jié)PO,AO,則可證明OP⊥平面ABCD,求出OP,OC即可求解直線PC與平面ABCD所成角的正切值.

解答 證明:取BD中點O,連結(jié)PO,AO.
∵△PAB與△PAD都是等邊三角形,
∴設(shè)AB=AD=PB=PD=PA=1.
∴OP⊥BD,OA⊥BD,
又∠BAD=90°,∴OA=OB=OD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴OP=$\sqrt{P{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,
∴OA2+OP2=PA2,∴OP⊥OA.
∴OP⊥平面ABCD,又CO?平面ABCD,
∴OP⊥OC.
OC=$\sqrt{O{B}^{2}+B{C}^{2}-2OB•BCcos∠OBC}$=$\sqrt{({\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}+4-2×\frac{\sqrt{2}}{2}×2×\frac{\sqrt{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$,
直線PC與平面ABCD所成角的正切值為:tan∠POC=$\frac{PO}{OC}$=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{10}}{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$.
故選:A.

點評 本題考查直線與平面所成角的求法,考查空間想象能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,計算能力的考查.

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