Question

19．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（2b-c）cosA=acosC，
（1）求A；
（2）若a=2$\sqrt{3}$，求△ABC的BC邊上高的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式化簡已知可得2sinBcosA=sinB，結(jié)合sinB≠0，可求$cosA=\frac{1}{2}$；由A∈（0，π），可求A的值．
（2）由余弦定理，基本不等式可求bc≤12，進(jìn)而利用三角形面積公式即可計算得解．

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）由（2b-c）cosA=acosC得：（2sinB-sinC）cosA=sinAcosC，…（2分）
即：2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA，
即2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，…（4分）
∵sinB≠0，
∴$cosA=\frac{1}{2}$；
∵A∈（0，π），
∴$A=\frac{π}{3}$； …（6分）
（2）由余弦定理得：b²+c²-bc=12，
則：bc≤12，（當(dāng)$b=c=2\sqrt{3}$時等號成立），…（8分）
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsin\frac{π}{3}≤\frac{1}{2}×12×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=3\sqrt{3}$，即△ABC面積的最大值為$3\sqrt{3}$；…（10分）
∴BC邊上高的最大值為：$\frac{{2{{（{S_{△ABC}}）}_{max}}}}{a}=\frac{{2×3\sqrt{3}}}{{2\sqrt{3}}}=3$．…（12分）

點評 本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式，余弦定理，基本不等式，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．