Question

（12分）已知某類型的高射炮在它們控制的區(qū)域內(nèi)擊中具有某種速度敵機的概率為．
（Ⅰ）假定有5門這種高射炮控制某個區(qū)域，求敵機進(jìn)入這個區(qū)域后被擊中的概率；
（Ⅱ）要使敵機一旦進(jìn)入這個區(qū)域內(nèi)有90%以上的概率被擊中，至少需要布置幾門這類高射炮？（參考數(shù)據(jù)，）

Answer 1

（Ⅰ）．
（Ⅱ）n≥11．即至少需要布置11門高射炮才能有90%以上的概率擊中敵機．

本題考查n次獨立重復(fù)實驗中恰有k次發(fā)生的概率計算，注意解不等式 (4/5 )ⁿ＜1 /10 ，用到對數(shù)，運算量較大，要細(xì)心計算．
（Ⅰ）先求出5門炮都未擊中敵機的概率，再根據(jù)相互獨立事件概率的計算出結(jié)論，最后用1減去即可得到結(jié)果．
（Ⅱ）直接結(jié)合第一問的結(jié)論可知1-(4/5 )n＞9/ 10 ，再兩邊取對數(shù)，即可求出結(jié)論．
解（Ⅰ）設(shè)敵機被各炮擊中的事件分別記為A1、A2、A3、A4、A5，那么5門炮都未擊中敵機的事件為，因各炮射擊的結(jié)果是相互獨立的，所以


因此敵機被擊中的概率為．
（Ⅱ）設(shè)至少需要置n門高射炮才能有90%以上的概率擊中敵機，由①可知
 ，即 ，
兩邊取常用對數(shù)，得， 
∴n≥11．
即至少需要布置11門高射炮才能有90%以上的概率擊中敵機．