【題目】已知函數(shù)f(x)=-x3+x2+b,g(x)=aln x.
(1)若f(x)在 上的最大值為,求實(shí)數(shù)b的值;
(2)若對(duì)任意x∈[1,e],都有g(shù)(x)≥-x2+(a+2)x恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)b=0; (2)a≤-1.
【解析】
(1)由f(x)=﹣x3+x2+b,得f′(x)=﹣3x2+2x=﹣x(3x﹣2),令f′(x)=0,得x=0或x=.由此列表討論能求出b=0.
(2)由g(x)≥﹣x2+(a+2)x,得(x﹣lnx)a≤x2﹣2x.由已知得a≤()min.由此利用構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出a≤﹣1.
(1)由f(x)=-x3+x2+b,得f′(x)=-3x2+2x=-x(3x-2),令f′(x)=0,得x=0或x=.列表如下:
x | - | 0 | ||||
f′(x) | - | 0 | + | 0 | - | |
f(x) | f | ↘ | 極小值 | ↗ | 極大值 | ↘ |
由f=+b,f=+b,∴f>f,即函數(shù)f(x)在上的最大值為f=+b=,∴b=0.
(2)由g(x)≥-x2+x,得a≤x2-2x.∵x∈[1,e],∴l(xiāng)n x≤1≤x,且等號(hào)不能同時(shí)成立,∴l(xiāng)n x<x,即x-ln x>0,∴a≤恒成立,即a≤.令t(x)=,x∈[1,e],求導(dǎo)得,t′(x)=,當(dāng)x∈[1,e]時(shí),x-1≥0,ln x≤1,x+2(1-ln x)>0,從而t′(x)≥0,∴t(x)在[1,e]上為增函數(shù),∴t(x)min=t(1)=-1,∴a≤-1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下圖是我國(guó)2008年至2014年生活垃圾無(wú)害化處理量(單位:億噸)的折線圖.
(Ⅰ)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明;
(Ⅱ)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測(cè)2016年我國(guó)生活垃圾無(wú)害化處理量.
附注:
參考數(shù)據(jù):,,
,≈2.646.
參考公式:相關(guān)系數(shù)
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】學(xué)習(xí)雷鋒精神前半年內(nèi)某單位餐廳的固定餐椅經(jīng)常有損壞,學(xué)習(xí)雷鋒精神時(shí)全修好;
單位對(duì)學(xué)習(xí)雷鋒精神前后各半年內(nèi)餐椅的損壞情況作了一個(gè)大致統(tǒng)計(jì),具體數(shù)據(jù)如下:
損壞餐椅數(shù) | 未損壞餐椅數(shù) | 總 計(jì) | |
學(xué)習(xí)雷鋒精神前 | 50 | 150 | 200 |
學(xué)習(xí)雷鋒精神后 | 30 | 170 | 200 |
總 計(jì) | 80 | 320 | 400 |
(1)求:學(xué)習(xí)雷鋒精神前后餐椅損壞的百分比分別是多少?并初步判斷損毀餐椅數(shù)量與學(xué)習(xí)雷鋒精神是否有關(guān)?
(2)請(qǐng)說(shuō)明是否有97.5%以上的把握認(rèn)為損毀餐椅數(shù)量與學(xué)習(xí)雷鋒精神有關(guān)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an} 為等比數(shù)列,等差數(shù)列{bn} 的前n 項(xiàng)和為Sn (n∈N* ),且滿足:S13=208,S9﹣S7=41,a1=b2 , a3=b3 .
(1)求數(shù)列{an},{bn} 的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)Tn=a1b1+a2b2+…+anbn (n∈N* ),求Tn;
(3)設(shè)cn= ,問(wèn)是否存在正整數(shù)m,使得cmcm+1cm+2+8=3(cm+cm+1+cm+2).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的偶函數(shù),對(duì)于x∈R,都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立,當(dāng)x1 , x2∈[0,2]且x1≠x2時(shí),都有 <0,給出下列四個(gè)命題:
①f(﹣2)=0;
②直線x=﹣4是函數(shù)y=f(x)的圖象的一條對(duì)稱軸;
③函數(shù)y=f(x)在[4,6]上為增函數(shù);
④函數(shù)y=f(x)在(﹣8,6]上有四個(gè)零點(diǎn).
其中所有正確命題的序號(hào)為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校高三年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽考試后,對(duì)90分以上(含90分)的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),其頻率分布直方圖如圖所示,已知成績(jī)?cè)?30~140分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為2.
(1)求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)M.
(2)現(xiàn)根據(jù)初賽成績(jī)從第一組和第五組(從低分段至高分段依次為第一組、第二組、…、第五組)中任意選出兩人,形成幫扶小組.若選出的兩人的成績(jī)之差大于20,則稱這兩人為“黃金搭檔組”,試求選出的兩人為“黃金搭檔組”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=pn+q(p≠0且p≠1),求證:數(shù)列{an}為等比數(shù)列的充要條件為q=-1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+ax2+bx,(a,b∈R).
(1)設(shè)a=1,f(x)在x=1處的切線過(guò)點(diǎn)(2,6),求b的值;
(2)設(shè)b=a2+2,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值;
(3)定義:一般的,設(shè)函數(shù)g(x)的定義域?yàn)镈,若存在x0∈D,使g(x0)=x0成立,則稱x0為函數(shù)g(x)的不動(dòng)點(diǎn).設(shè)a>0,試問(wèn)當(dāng)函數(shù)f(x)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)時(shí),這兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)能否同時(shí)也是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)?
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