Question

若多項(xiàng)式（1+x）¹⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₆x¹⁶，則a₁+2a₂+3a₃+…+8a₈=

1. A.
   2¹⁸
2. B.
   2¹⁷
3. C.
   2¹⁶
4. D.
   2¹⁵

Answer 1

A
分析：通過二項(xiàng)式定理求出所求各項(xiàng)的系數(shù)，利用C_mⁿ=C_m-1^n-1 與C_mⁿ=C_m^m-n化簡表達(dá)式，求出所求和即可．
解答：由（1+x）¹⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₆x¹⁶，可知，
a₀=C₁₆⁰ a₁=C₁₆¹ a₂=C₁₆² …a₈=C₁₆⁸
故（a₁+2a₂+3a₃+…+8a₈）=C₁₆¹+2C₁₆²+…+8C₁₆⁸
因?yàn)镃_mⁿ=C_m-1^n-1 （m≥n，且同是自然數(shù)．）
故C₁₆¹+2C₁₆²+…+8C₁₆⁸=C₁₆¹+2×C₁₅¹+3×C₁₅²+…+8×C₁₅⁷
=16（C₁₅⁰+C₁₅¹+C₁₅²+…+C₁₅⁷）
因?yàn)椋珻_mⁿ=C_m^m-n
故C₁₆¹+2C₁₆²+…+8C₁₆⁸
=（C₁₅⁰+C₁₅¹+C₁₅²+…+C₁₅¹⁵）
=
=2¹⁸
故a₁+2a₂+3a₃+…+8a₈=2¹⁸．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，組合數(shù)公式的靈活應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．