已知f(x)=xlnx.
(1)求函數(shù)y=f(x)的圖象在x=e處的切線方程;
(2)設(shè)實(shí)數(shù)a>0,求函數(shù)y=f(x)在[a,2a]上的最小值;
(3)證明:對一切x∈(0,+∞),都有成立.
解:(1)定義域?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/2162/0020/025b393ad78b6ffbd29bd8ffda57266f/C/Image98.gif" width=46 height=22> 又 函數(shù)的在處的切線方程為:,即 3分 (2)當(dāng),,單調(diào)遞減,當(dāng),,單調(diào)遞增.5分 (ⅰ)當(dāng)時(shí),f(x)在單調(diào)遞增, 6分 (ⅱ)當(dāng)即時(shí), 7分 (ⅲ)當(dāng)即時(shí),在單調(diào)遞減, 8分 (3)問題等價(jià)于證明, 由(2)可知的最小值是,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值 10分 設(shè),則, 當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減.故,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取得最大值 所以且等號不同時(shí)成立,即 從而對一切,都有成立 12分 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:四川省重點(diǎn)中學(xué)敘永一中2008級數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)階段測試卷(不等式)、人教版 人教版 題型:044
已知函數(shù)f(x)=xln(1+x)-a(x+1).
(1)若當(dāng)x∈[1,+∞]時(shí),(x)x>0恒成立,求a的取值范圍.
(2)求g(x)=(x)-的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:山東省濟(jì)寧市2010屆高三第一次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題 題型:044
已知函數(shù)f(x)=xln(1+x)-a(x+1),其中a為實(shí)常數(shù).
(1)當(dāng)x∈[1,+∞)時(shí),恒成立,求a的取值范圍;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:浙江省五校2012屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)理科試題 題型:044
已知函數(shù)f(x)=ax+xln|x+b|是奇函數(shù),且圖像在點(diǎn)(e,f(e))(e為自然對數(shù)的底數(shù))處的切線斜率為3.
(1)求實(shí)數(shù)a、b的值;
(2)若k∈Z,且k<對任意x>1恒成立,求k的最大值;
(3)當(dāng)n>m>1,(n,m∈Z)時(shí),證明:(mnn)m>(nmm)n.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:新課標(biāo)2012屆高三二輪復(fù)習(xí)綜合驗(yàn)收(6)數(shù)學(xué)理科試題 題型:044
已知函數(shù)f(x)=xln(1+x)-a(x+1),其中a為常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)x∈[1,+∞]時(shí),(x)>0恒成立,求a的取值范圍;
(Ⅱ)求g(x)=(x)-的單調(diào)區(qū)間.
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