Question

14．若函數(shù)f（x）=2sinωx（ω＞0）在區(qū)間$[{-\frac{π}{6}\;，\;\;\frac{π}{4}}]$上單調(diào)遞增，則ω的最大值為2．且當ω取最大值時f（x）的值域為[-2，2]．

Answer 1

分析 根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)求出ω的值，結合三角函數(shù)的值域和單調(diào)性的關系進行求解即可．

解答 解：∵ω＞0，
∴函數(shù)的周期T=$\frac{2π}{ω}$，則函數(shù)在[-$\frac{T}{4}$，$\frac{T}{4}$]上是增函數(shù)，
若f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{6}\;，\;\;\frac{π}{4}}]$上單調(diào)遞增，
則$\frac{π}{4}$≤$\frac{T}{4}$，即T≥π，即$\frac{2π}{ω}$≥π，則ω≤2，
則ω的最大值為2，
此時f（x）=2sin2x，則函數(shù)的最大值為2，最小值為-2，
即函數(shù)的值域為[-2，2]，
故答案為：2，[-2，2]

點評 本題主要考查三角函數(shù)單調(diào)性和值域的求解，利用三角函數(shù)的周期公式以及三角函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關鍵．