Question

9．已知l為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線，l與圓（x-c）²+y²=a²（其中c²=a²+b²）相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=a，則C離心率為$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，圓的圓心與半徑，利用體積推出ab關(guān)系式，然后求解離心率即可．

解答 解：由題意可知雙曲線的一條漸近線方程為：bx+ay=0，
圓（x-c）²+y²=a²的圓心（c，0），半徑為：a，
l為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線，l與圓（x-c）²+y²=a²（其中c²=a²+b²）相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=a，
可得$（{\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}）}^{2}+（\frac{a}{2}）^{2}={a}^{2}$，可得4b²=3a²，
可得4（c²-a²）=3a²，
解得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．