【題目】如圖,四棱錐的底面是直角梯形, ,的中點(diǎn),.

(Ⅰ)證明:⊥平面;

(Ⅱ)求二面角的大;

(Ⅲ)線段上是否存在一點(diǎn),使得直線平面. 若存在,確定點(diǎn)的位置;若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】(Ⅰ)見證明;(Ⅱ);(Ⅲ)見解析

【解析】

(I)依題意易得兩兩垂直,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.通過(guò),證得平面.(II)通過(guò)計(jì)算平面和平面的法向量,由此計(jì)算出面面角的余弦值,進(jìn)而求得二面角的大小.(III)設(shè)出的坐標(biāo),利用直線的方向向量和平面的法向量垂直,求出關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的參數(shù),由此判斷出點(diǎn)的位置.

(Ⅰ)因?yàn)?/span> 平面.

所以,,又.

如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

由題意得

所以,,.

所以,,

所以,,

所以平面.

(Ⅱ)設(shè)平面的法向量為,

因?yàn)?/span>.

所以,即

,則.

于是.

因?yàn)?/span>⊥平面,所以為平面的法向量,

.

所以.

因?yàn)樗蠖娼菫殁g角,所以二面角大小為.

(Ⅲ)解:設(shè),

,

,.

設(shè)平面的法向量

,即 ,

,. 于是,

如果直線平面,

那么,解得 .

所以,存在點(diǎn)為線段靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn),使得直線平面.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)利用組中值(數(shù)據(jù)分組后,一個(gè)小組的組中值是指這個(gè)小組的兩個(gè)端點(diǎn)的數(shù)的平均數(shù)),估計(jì)100名女性使用者評(píng)分的平均值;

(2)根據(jù)評(píng)分的不同,運(yùn)用分層抽樣從這200名男性中抽取20名,在這20名中,從評(píng)分不低于80分的人中任意抽取3名,求這3名男性中恰有一名評(píng)分在區(qū)間的概率.

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900

700

300

100

0.5

3.5

6.5

9.5

該省某市2017年11月份AQI指數(shù)頻數(shù)分布如表2:

頻數(shù)(天)

3

6

12

6

3

<>(1)設(shè),若之間是線性關(guān)系,試根據(jù)表1的數(shù)據(jù)求出關(guān)于的線性回歸方程;

(2)小李在該市開了一家洗車店,洗車店每天的平均收入與AQI指數(shù)存在相關(guān)關(guān)系如表3:

日均收入(元)

-2000

-1000

2000

6000

8000

根據(jù)表3估計(jì)小李的洗車店2017年11月份每天的平均收入.

附參考公式:,其中,.

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