Question

（2013•徐州一模）已知角φ的終邊經過點P（1，-1），點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）圖象上的任意兩點，若|f（x₁）-f（x₂）|=2時，|x₁-x₂|的最小值為

π

3

，則f(

π

2

)的值是

-

2

2

．

Answer 1

分析：由任意角的三角函數的定義求得tanφ=-1，故可以取φ=-

π

4

．再根據函數的圖象的相鄰的2條對稱軸間的距離
等于

π

3

，故函數的周期為

2π

3

，由此求得ω 的值，從而求得函數的解析式，即可求得 f(

π

2

)的值．

解答：解：∵角φ的終邊經過點P（1，-1），∴角φ的終邊在第四象限，且tanφ=-1，故可以取φ=-

π

4

．
點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）圖象上的任意兩點，
若|f（x₁）-f（x₂）|=2時，|x₁-x₂|的最小值為

π

3

，
則函數的圖象的相鄰的2條對稱軸間的距離等于

π

3

，故函數的周期為

2π

3

，故

2π

ω

=

2π

3

，解得ω=3．
故函數的解析式為 f（x）=sin（3x-

π

4

），∴f(

π

2

)=sin（

3π

2

-

π

4

）=sin

5π

4

=-sin

π

4

=-

2

2

，
故答案為-

2

2

．

點評：本題主要考查任意角的三角函數的定義，由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，屬于中檔題．