Question

【題目】已知無(wú)窮集合A，B，且，，記，定義：滿足時(shí)，則稱集合A，B互為“完美加法補(bǔ)集”.

（Ⅰ）已知集合，.判斷2019和2020是否屬于集合，并說(shuō)明理由；

（Ⅱ）設(shè)集合，.

（�。┣笞C：集合A，B互為“完美加法補(bǔ)集”；

（ⅱ）記和分別表示集合A，B中不大于n（）的元素個(gè)數(shù)，寫(xiě)出滿足的元素n的集合.（只需寫(xiě)出結(jié)果，不需要證明）

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；見(jiàn)解析（Ⅱ）（ⅰ）見(jiàn)解析；（ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由a為奇數(shù)，b為偶數(shù)，可得為奇數(shù)，即可判斷2019和2020是否屬于集合；

（Ⅱ）（ⅰ）對(duì)于任意自然數(shù)p可表示為唯一一數(shù)組（，，，…，，…，），其中，1；，1，…，k，，使得，，1；，1，…，k，，考慮自然數(shù)p的個(gè)數(shù)即可得證；再證

，其中，1；，1；，1，…，k，，則.由反證法即可得證；

（ⅱ）考慮集合中元素為奇數(shù)，可為.

（Ⅰ）由，得是奇數(shù)，

當(dāng)，時(shí)，，

所以，；

（Ⅱ）（�。┦紫茸C明：對(duì)于任意自然數(shù)p可表示為唯一一數(shù)組（，，，…，，…，），

其中，1；，1，…，k，，

使得，，1；，1，…，k，，

由于，

這種形式的自然數(shù)p至多有個(gè)，且最大數(shù)不超過(guò).

由，1；，1，…，k，，每個(gè)都有兩種可能，

所以這種形式的自然數(shù)p共有個(gè)結(jié)果.

下證

，

其中，1；，1；，1，…，k，，則.

假設(shè)存在中，取i最大數(shù)為j，

則

，

所以不可能.

綜上，任意正整數(shù)p可唯一表示為

顯然，，

滿足，所以集合A，B互為“完美加法補(bǔ)集”.

（ⅱ）.