Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=an+2，數(shù)列{bn}的前n項和為Sn ， 且Sn=2﹣bn ．
（Ⅰ）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)cn=anbn ， 求數(shù)列{cn}的前n項和Tn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為a1=1，an+1﹣an=2，

所以{an}為首項是1，公差為2的等差數(shù)列，

所以an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，

又當(dāng)n=1時，b1=S1=2﹣b1，所以b1=1，

當(dāng)n≥2時，Sn=2﹣bn①，Sn﹣1=2﹣bn﹣1②

由①﹣②得bn=﹣bn+bn﹣1，即 ，

所以{bn}是首項為1，公比為 的等比數(shù)列，

故 ，n∈N*；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，

則 ①，

= ②，

①﹣②得

= = = ．

所以 ．

【解析】（Ⅰ）由等差數(shù)列的定義和通項公式可得an；運用數(shù)列的遞推式：當(dāng)n=1時，b1=S1，當(dāng)n≥2時，bn=Sn﹣Sn﹣1，即可得到{bn}的通項公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知 ，運用數(shù)列的求和方法：錯位相減法，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，即可得到所求和．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式．