Question

一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖（正視圖、左視圖、俯視圖）如圖所示，M、N分別為A₁B、B₁C₁的中點(diǎn).求證：

（1）MN∥平面ACC₁A₁；
（2）MN⊥平面A₁BC.

Answer 1

證明略

  由題意可知，這個(gè)幾何體是直三棱柱，

且AC⊥BC，AC=BC=CC₁.
（1）連接AC₁，AB₁.
由直三棱柱的性質(zhì)得AA₁⊥平面A₁B₁C₁，
所以AA₁⊥A₁B₁，則四邊形ABB₁A₁為矩形.
由矩形性質(zhì)得AB₁過A₁B的中點(diǎn)M.
在△AB₁C₁中，由中位線性質(zhì)得MN∥AC₁，
又AC₁平面ACC₁A₁，
MN平面ACC₁A₁，
所以MN∥平面ACC₁A₁.
（2）因?yàn)锽C⊥平面ACC₁A₁，AC₁平面ACC₁A₁，
所以BC⊥AC₁.
在正方形ACC₁A₁中，A₁C⊥AC₁.
又因?yàn)锽C∩A₁C=C，
所以AC₁⊥平面A₁BC.
由MN∥AC₁，得MN⊥平面A₁BC.