Question

11．已知f（x）=|x-1|-|x-a|（a為常數(shù)）．
（1）若f（2）＜f（a）-1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若f（x）的值域?yàn)锳，且A⊆[-2，3]，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)討論a的范圍，求出各個(gè)區(qū)間上的a的范圍，取并集即可；
（2）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)求出f（x）的最大值，結(jié)合A，得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）由f（2）＜f（a）-1可得1-|a-2|＜|a-1|-1，即|a-1|+|a-2|＞2．（*）
①當(dāng)a＜1時(shí)，（*）式可化為（1-a）+（2-a）＞2，解之得$a＜\frac{1}{2}$，所以$a＜\frac{1}{2}$；
②當(dāng)1≤a≤2時(shí)，（*）式可化為（a-1）+（2-a）＞2，即1＞2，所以a∈∅；
③當(dāng)a＞2時(shí)，（*）式可化為（a-1）+（a-2）＞2，解之得$a＞\frac{5}{2}$，所以$a＞\frac{5}{2}$．
綜上知，實(shí)數(shù)a的取值范圍為$（{-∞，\frac{1}{2}}）∪$$（{\frac{5}{2}，+∞}）$．
（2）因?yàn)閨f（x）|=||x-1|-|x-a||≤|（x-1）-（x-a）|=|a-1|，所以-|a-1|≤f（x）≤|a-1|，
由條件只需$\left\{\begin{array}{l}-|{a-1}|≥-2\\|{a-1}|≤3\end{array}\right.$即|a-1|≤2，
解之得-1≤a≤3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-1，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查分類(lèi)討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．