Question

已知函數(shù)f（x）=

ax

x2+1

+a，g（x）=alnx-x（a≠0）．
（1）a＞0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求證：當a＞0時，對于任意x₁，x₂∈（0，e]，總有g(shù)（x₁）＜f（x₂）成立．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由題意，確定函數(shù)的定義域并求導，由導數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當a＞0時，對于任意x₁，x₂∈（0，e]，總有g(shù)（x₁）＜f（x₂）成立化為g（x₁）_max＜f（x₂）_min，從而求解．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為R，
f′(x)=

a(1-x2)

(x2+1)2

=

a(1-x)(1+x)

(x2+1)2

，
當a＞0時，當x變化時，f'（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+	0	-
f（x）	↘		↗		↘

當a＞0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，1），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；
（2）證明：由（1）可知，當a＞0時，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，f（x）＞f（0）=a；f（x）在[，e]上單調(diào)遞減，且f(e)=

ae

e2+1

+a＞a．
則f（x₂）＞a，
∵g′（x）=

a-x

x

，
①當0＜a＜e時，g（x）=alnx-x在（0，a）上單調(diào)遞增，在[a，e]上單調(diào)遞減；
故g（x₁）_max=g（a）=alna-a；
則alna-a-a=a（lna-2）＜0；
故對于任意x₁，x₂∈（0，e]，總有g(shù)（x₁）＜f（x₂）成立；
②當a≥e時，g（x）=alnx-x在（0，e]上單調(diào)遞增，
故g（x₁）_max=g（e）=a-e；
故a-e-a=-e＜0，
故對于任意x₁，x₂∈（0，e]，總有g(shù)（x₁）＜f（x₂）成立．
綜上所述，對于任意x₁，x₂∈（0，e]，總有g(shù)（x₁）＜f（x₂）成立．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用，同時考查了恒成立問題的處理方法，屬于中檔題．