Question

已知函數f（x）=log₂

x

2

×log

2

x

2

，其中x∈[

1

2

，8]．
（1）求f（x）的最大值和最小值；
（2）若實數a滿足：f（x）-a≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數函數圖象與性質的綜合應用

專題：函數的性質及應用

分析：（1）利用對數的運算性質，可將函數解析式化為函數f（x）=log₂²x-3log₂x+2，利用換元法結合二次函數的圖象和性質及x∈[

1

2

，8]，可得f（x）的最大值和最小值；
（2）若實數a滿足f（x）-a≥0恒成立，即a≤f（x）恒成立，則a≤f（x）_min，結合（1）中結論，可得a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=log₂

x

2

×log

2

x

2

=log₂²x-3log₂x+2，
令t=log₂x，由x∈[

1

2

，8]得：t∈[-1，3]，
則y=f（x）=t²-3t+2，
∴當t=-1時，f（x）取最大值6，
當x=

3

2

時，f（x）取最小值-

1

4

，
（2）若實數a滿足f（x）-a≥0恒成立，
即a≤f（x）恒成立，
則a≤f（x）_min，
由（1）得a≤-

1

4

，
故a的取值范圍為：（-∞，-

1

4

]．

點評：本題考查的知識點是對數函數的圖象和性質，恒成立問題，其中熟練掌握對數函數的圖象和性質，是解答的關鍵．