已知函數(shù)f(x)=
sinx
x
,下列命題正確的是
②④
②④
.(寫出所有正確命題的序號)
①f(x)是奇函數(shù)
②對定義域內任意x,f(x)<1恒成立;
③當x=
3
2
π
時,f(x)取得極小值;
④f(2)>f(3)
⑤當x>0時,若方程|f(x)|=k有且僅有兩個不同的實數(shù)解α,β(α>β)則β•cosα=-α•sinβ
分析:判斷出函數(shù)的奇偶性,可判斷①,求出函數(shù)的值域,可判斷②;判斷出函數(shù)的極值點,可判斷③;利用函數(shù)的單調性,比較兩個函數(shù)值,可判斷④,數(shù)形結合分析出βcosα=-sinβ,可判斷⑤.
解答:解:①函數(shù)的定義域是{x|x≠0,x∈R},f(-x)=
sin(-x)
-x
=
sinx
x
=f(x),∴f(x)是偶函數(shù),故①錯誤;
②∵根據(jù)三角函數(shù)線的定義知|sinx|≤|x|,∴
|sinx|
|x|
≤1,∵x≠0,∴
sinx
x
<1成立,故②正確;
③∵f′(x)=
xcosx-sinx
x2
,∵f′(
2
)=
4
2
≠0,∴x=
2
 不是極值點,∴③錯誤;
④∵
π
2
<2<3<π,∴sin2>sin3>0,∴
sin2
2
sin3
3
,∴④正確;

因為|
sinx
x
|=k( x>0)有且僅有兩個不同的根α,β,所以,k>0 
因為x>0時,y=sinx為周期函數(shù),y=x為增函數(shù)
所以,f(x)在(0,π)的最大值>f(x)在(π,2π)的最大值>f(x)在(2π,3π)的最大值>…
因為,α>β 
所以,α必為y=f(x)在(π,2π)取最大值時x的值,
π<x<2π時,f(x)=|
sinx
x
|=-
sinx
x

f'(x)=
-xcosx+sinx
x2
,令f'(x)=0,
則αcosα-sinα=0,即cosα=
sinα
α
,
所以,f(α)=-
sinα
α
=-cosα=k
α,β為方程f(x)=k在(0,π)的根
所以,
sinβ
β
=k
所以,
sinβ
β
=-cosα
即:βcosα=-sinβ,故⑤錯誤
故答案為:②④
點評:本題以命題的真假判斷為載體考查了三角函數(shù)的奇偶性,值域,極值,單調性是三角函數(shù)圖象和性質的綜合應用,難度較大.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(附加題)
(Ⅰ)設非空集合S={x|m≤x≤l}滿足:當x∈S時有x2∈S,給出下列四個結論:
①若m=2,則l=4
②若m=-
1
2
,則
1
4
≤l≤1

③若l=
1
2
,則-
2
2
≤m≤0
④若m=1,則S={1},
其中正確的結論為
②③④
②③④

(Ⅱ)已知函數(shù)f(x)=x+
a
x
+b(x≠0)
,其中a,b∈R.若對于任意的a∈[
1
2
,2]
,f(x)≤10在x∈[
1
4
,1]
上恒成立,則b的取值范圍為
(-∞,
7
4
]
(-∞,
7
4
]

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

將正奇數(shù)列{2n-1}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表:
記aij是這個數(shù)表的第i行第j列的數(shù).例如a43=17
(Ⅰ)  求該數(shù)表前5行所有數(shù)之和S;
(Ⅱ)2009這個數(shù)位于第幾行第幾列?
(Ⅲ)已知函數(shù)f(x)=
3x
3n
(其中x>0),設該數(shù)表的第n行的所有數(shù)之和為bn,
數(shù)列{f(bn)}的前n項和為Tn,求證Tn
2009
2010

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•開封二模)已知函數(shù)f(x)=sin(x+
π
6
)+2sin2
x
2

(I)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間;
(II)記△ABC的內角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c若f(A)=
3
2
,△ABC的面積S=
3
2
,a=
3
,求b+c的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2011•黑龍江一模)已知函數(shù)f(x)=
3
2
sinxcosx-
3
2
sin2x+
3
4

(Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間;
(Ⅱ)已知△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,若f(A)=0,a=
3
,b=2
,求△ABC的面積S.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

(2012•黃山模擬)已知函數(shù)f(x)=ln2(1+x),g(x)=
x2
1+x

(Ⅰ)分別求函數(shù)f(x)和g(x)的圖象在x=0處的切線方程;
(Ⅱ)證明不等式ln2(1+x)≤
x2
1+x
;
(Ⅲ)對一個實數(shù)集合M,若存在實數(shù)s,使得M中任何數(shù)都不超過s,則稱s是M的一個上界.已知e是無窮數(shù)列an=(1+
1
n
)n+a
所有項組成的集合的上界(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)),求實數(shù)a的最大值.

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