(本小題12分)如圖,四棱錐中,

側(cè)面是邊長為2的正三角形,且與底面垂直,底面的菱形,的中點.

(1)與底面所成角的大;

(2)求證:平面;

(3)求二面角的余弦值.

 

【答案】

(1)DC的中點O,由ΔPDC是正三角形,有PODC

又∵平面PDC⊥底面ABCD,∴PO⊥平面ABCDO

連結(jié)OA,則OAPA在底面上的射影.∴∠PAO就是PA與底面所成角.

∵∠ADC=60°,由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形,從而求得OA=OP=

∴∠PAO=45°.∴PA與底面ABCD可成角的大小為45°.             

(2)由底面ABCD為菱形且∠ADC=60°,DC=2,DO=1,有OADC

建立空間直角坐標系如圖,則,

MPB中點,∴

,

PADM,PADC.   ∴PA⊥平面DMC.                          

(3).令平面BMC的法向量

,從而x+z=0;  ……①,  ,從而. ……②

由①、②,取x=−1,則.   ∴可取

由(2)知平面CDM的法向量可取,

. ∴所求二面角的余弦值為-

法二:(1)方法同上                              

(2)取的中點,連接,由(Ⅰ)知,在菱形中,由于,則,又,則,即,

又在中,中位線,,則,則四邊形,所以,在中,,則,故

(3)由(2)知,則為二面角的平面角,在中,易得,,

故,所求二面角的余弦值為

 

【解析】略

 

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     (本小題12分)

如圖3,已知在側(cè)棱垂直于底面

的三棱柱中,AC=BC, AC⊥BC,點D是A1B1中點.

(1)求證:平面AC1D⊥平面A1ABB1;

(2)若AC1與平面A1ABB1所成角的正弦值

,求二面角D- AC1-A1的余弦值.

 

 

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(1)求證:平面∥平面

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(本小題12分)

如圖:⊙O為△ABC的外接圓,AB=AC,過點A的直線交⊙O于D,交BC延長線于F,DE是BD的延長線,連接CD。

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②求證:AB2=AF·AD。

 

 

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    (I)求證:平面BCD;

    (II)求異面直線AB與CD所成角的大;

    (III)求點E到平面ACD的距離。

 

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