Question

求證：若圓內(nèi)接四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直，則從對(duì)角線交點(diǎn)到一邊中點(diǎn)的線段長(zhǎng)等于圓心到該邊對(duì)邊的距離．

Answer 1

分析：以兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為原點(diǎn)O、對(duì)角線所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)出A（-a，0），B（0，-b），C（c，0），D（0，d），求得CD的中點(diǎn)E和AB的中點(diǎn)H的坐標(biāo)．
由圓的性質(zhì)求得圓心G的坐標(biāo)，求得|OE|²=|GH|²=

c2+d2

4

，可得|OE|=|GH|，命題得證．

解答：解：以兩條對(duì)角線的交點(diǎn)為原點(diǎn)O、對(duì)角線所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，（如圖所示） 
設(shè)A（-a，0），B（0，-b），C（c，0），D（0，d），則CD的中點(diǎn)E（

c

2

，

d

2

），AB的中點(diǎn)H（-

a

2

，-

b

2

）．
又圓心G到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，故圓心G的橫坐標(biāo)等于AC中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，等于

c-a

2

，
圓心G的縱坐標(biāo)等于BD中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，等于

d-b

2

．
即圓心G（

c-a

2

，

d-b

2

），∴|OE|²=

c2+d2

4

，
|GH|²=(

c-a

2

+

a

2

)2+(

d-b

2

+

b

2

)2=

c2+d2

4

，∴|OE|=|GH|，故要證的結(jié)論成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用坐標(biāo)法證明幾何問(wèn)題，線段的中點(diǎn)公式、兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．