【題目】在四棱錐中,底面是平行四邊形,,側(cè)面底面,,, 分別為的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上.
(Ⅰ)求證:直線平面;
(Ⅱ)若為的中點(diǎn),求平面與平面所成銳二面角的余弦值;
(Ⅲ)設(shè),當(dāng)為何值時(shí),直線與平面所成角的正弦值為,求的值.
【答案】(Ⅰ)見證明;(Ⅱ) (Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)因?yàn)?/span>,,所以,即。又由題意可知底面,所以,由線面垂直的判定定理即可得證。
(Ⅱ)分別以為軸、軸和軸正方向建系,利用向量法能求出平面與平面所成銳二面角的余弦值。
(Ⅲ)由結(jié)合(2),可得,,又平面 ,根據(jù)線面角的余弦值即可求解。
(Ⅰ)證明:在平行四邊形中,因?yàn)?/span>,,所以.
所以.
因?yàn)閭?cè)面底面,且,面面
且面所以底面.
又因?yàn)?/span>底面,所以.
又因?yàn)?/span>,平面,平面,
所以平面
(Ⅱ)解:因?yàn)?/span>底面,,所以兩兩垂直,故以分別為軸、軸和軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,
設(shè)平面的法向量為,
由,,得
令,得.
為的中點(diǎn),由(1)知,平面且,
所以 ,
平面與平面所成銳二面角的余弦值;
(Ⅲ)設(shè),則,所以,
由(1)知.直線與平面所成的角正弦值為
所以,即,
解得.或 (舍)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某縣畜牧技術(shù)員張三和李四9年來一直對該縣山羊養(yǎng)殖業(yè)的規(guī)模進(jìn)行跟蹤調(diào)查,張三提供了該縣某山羊養(yǎng)殖場年養(yǎng)殖數(shù)量單位:萬只與相應(yīng)年份序號的數(shù)據(jù)表和散點(diǎn)圖如圖所示,根據(jù)散點(diǎn)圖,發(fā)現(xiàn)y與x有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系,李四提供了該縣山羊養(yǎng)殖場的個(gè)數(shù)單位:個(gè)關(guān)于x的回歸方程.
年份序號x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
年養(yǎng)殖山羊萬只 |
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)和所給統(tǒng)計(jì)量,求y關(guān)于x的線性回歸方程參考統(tǒng)計(jì)量:,;
試估計(jì):該縣第一年養(yǎng)殖山羊多少萬只
到第幾年,該縣山羊養(yǎng)殖的數(shù)量與第一年相比縮小了?
附:對于一組數(shù)據(jù),,,其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓:的上頂點(diǎn)為,左、右焦點(diǎn)分別為,,直線的斜率為,點(diǎn),在橢圓上,其中是橢圓上一動點(diǎn),點(diǎn)坐標(biāo)為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)作直線與軸垂直,交橢圓于,兩點(diǎn)(,兩點(diǎn)均不與點(diǎn)重合),直線,與軸分別交于點(diǎn),,試求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某食品廠為了檢查甲乙兩條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況,隨機(jī)在這兩條流水線上各抽取40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位:克),質(zhì)量值落在(495,510]的產(chǎn)品為合格品,否則為不合格品.表是甲流水線樣本頻數(shù)分布表,圖是乙流水線樣本頻率分布直方圖.
表甲流水線樣本頻數(shù)分布表
產(chǎn)品質(zhì)量/克 | 頻數(shù) |
(490,495] | 6 |
(495,500] | 8 |
(500,505] | 14 |
(505,510] | 8 |
(510,515] | 4 |
(1)若以頻率作為概率,試估計(jì)從兩條流水線分別任取1件產(chǎn)品,該產(chǎn)品恰好是合格品的概率分別是多少;
(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作出2×2列聯(lián)表,并回答能否有95%的把握認(rèn)為“產(chǎn)品的包裝質(zhì)量與兩條自動包裝流水線的選擇有關(guān)”
χ2
甲流水線 | 乙流水線 | 總計(jì) | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
總計(jì) |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】5名運(yùn)動員參加一次乒乓球比賽,每名運(yùn)動員都賽場并決出勝負(fù).設(shè)第位運(yùn)動員共勝場,負(fù)場(),則錯(cuò)誤的結(jié)論是( )
A.
B.
C. 為定值,與各場比賽的結(jié)果無關(guān)
D. 為定值,與各場比賽結(jié)果無關(guān)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知分別為的三內(nèi)角A,B,C的對邊,其面積,在等差數(shù)列中,,公差.?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列說法:①若線性回歸方程為,則當(dāng)變量增加一個(gè)單位時(shí),一定增加3個(gè)單位;②將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后,方差不會改變;③線性回歸直線方程必過點(diǎn);④抽簽法屬于簡單隨機(jī)抽樣;其中錯(cuò)誤的說法是( )
A.①③B.②③④C.①D.①②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若對于區(qū)間上的任意,都有,則實(shí)數(shù)的最小值是( )
A. 20B. 18
C. 3D. 0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年4月,甲乙兩校的學(xué)生參加了某考試機(jī)構(gòu)舉行的大聯(lián)考,現(xiàn)從這兩校參加考試的學(xué)生數(shù)學(xué)成績在100分及以上的試卷中用系統(tǒng)抽樣的方法各抽取了20份試卷,并將這40份試卷的得分制作成如下的莖葉圖.
(1)試通過莖葉圖比較這40份試卷的兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績的中位數(shù);
(2)若把數(shù)學(xué)成績不低于135分的記作數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀,根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),判斷是否有90的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)成績在100分及以上的學(xué)生中數(shù)學(xué)成績是否優(yōu)秀與所在學(xué)校有關(guān);
(3)若從這40名學(xué)生中選取數(shù)學(xué)成績在的學(xué)生,用分層抽樣的方式從甲乙兩校中抽取5人,再從這5人中隨機(jī)抽取3人分析其失分原因,求這3人中恰有2人是乙校學(xué)生的概率.
參考公式與臨界值表:,其中.
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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