Question

已知關(guān)于x的函數(shù)y=3x²+2（a-1）x+a²，-1≤x≤1，
（1）求此函數(shù)的最小值；
（2）若函數(shù)值的最小值為13，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析函數(shù)圖象的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸，進(jìn)而

1-a

3

＜-1，即a＞4時(shí)，-1≤

1-a

3

≤1，即-2≤a≤4時(shí)和

1-a

3

＞1，即a＜-2時(shí)，三種情況，可以分析出函數(shù)的最小值；
（2）根據(jù)已知中函數(shù)值的最小值為13，結(jié)合（1）中的三種情況分類討論，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答： 解：（1）∵函數(shù)y=3x²+2（a-1）x+a²的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=

1-a

3

為對(duì)稱軸拋物線，
若

1-a

3

＜-1，即a＞4時(shí)，當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取最小值a²-2a+5，
若-1≤

1-a

3

≤1，即-2≤a≤4時(shí)，當(dāng)x=

1-a

3

時(shí)，函數(shù)取最小值

2

3

a²+

2

3

a-

1

3

，
若

1-a

3

＞1，即a＜-2時(shí)，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取最小值a²+2a+1；
（2）當(dāng)

1-a

3

＜-1，即a＞4時(shí)，
若函數(shù)取最小值a²-2a+5=13，
解得a=-2，或a=4，均不滿足條件；
當(dāng)-1≤

1-a

3

≤1，即-2≤a≤4時(shí)，
若函數(shù)取最小值

2

3

a²+

2

3

a-

1

3

=13，
解得a=4，或a=-5（舍去）；
當(dāng)

1-a

3

＞1，即a＜-2時(shí)，
若函數(shù)取最小值a²+2a+1=13，
解得a=-1-

13

，或a=-1+

13

（舍去），
綜上所述滿足條件的a值為-1-

13

或4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)在定區(qū)間上的最值問(wèn)題，難度中檔．