【題目】如圖,在四棱錐中,側(cè)面是等邊三角形,且平面平面、E為的中點,,,,.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析(2)
【解析】
(1)取中點F,連結(jié),,先證四邊形為平行四邊形,進而可得,進而可得平面;
(2)建立空間直角坐標系,求出平面和平面的法向量,利用兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值.
(1)如圖,取中點F,連結(jié),.
因為E為中點,,所以,.
又因為,,所以,,
所以四邊形為平行四邊形.
所以.
又因為平面,平面,
所以平面.
(2)取中點O,連結(jié),.
因為為等邊三角形,所以.
又因為平面平面,平面平面,
所以平面.
因為,,
所以四邊形為平行四邊形.
因為,所以.
如圖建立空間直角坐標系,
則,,,,.
所以,,
設(shè)平面的一個法向量為,
則即令,則,
顯然,平面的一個法向量為,
則即令,則,
所以.
由題知,二面角為銳角,
所以二面角的余弦值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,,是橢圓:上的三點,其中的坐標為,過橢圓的中心,且橢圓長軸的一個端點與短軸的兩個端點構(gòu)成正三角形.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)直線的斜率為1時,求面積;
(3)設(shè)直線:與橢圓交于兩點,,且線段的中垂線過橢圓與軸負半軸的交點,求實數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(,)的周期為,圖象的一個對稱中心為,將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),再將所得到的圖象向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象.
(1)求函數(shù)與的解析式;
(2)求證:存在,使得,,能按照某種順序成等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線的左,右焦點分別為,,點P為雙曲線C右支上異于頂點的一點,的內(nèi)切圓與x軸切于點,則a的值為______,若直線經(jīng)過線段的中點且垂直于線段,則雙曲線C的方程為________________.
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【題目】有一塊鐵皮零件,其形狀是由邊長為的正方形截去一個三角形所得的五邊形,其中,如圖所示.現(xiàn)在需要用這塊材料截取矩形鐵皮,使得矩形相鄰兩邊分別落在上,另一頂點落在邊或邊上.設(shè),矩形的面積為.
(1)試求出矩形鐵皮的面積關(guān)于的函數(shù)解析式,并寫出定義域;
(2)試問如何截取(即取何值時),可使得到的矩形的面積最大?
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【題目】已知橢圓C的中心在原點O,焦點在x軸上,橢圓的兩焦點與橢圓短軸的一個端點構(gòu)成等邊三角形,右焦點到右頂點的距離為1.
(1)求橢圓C的標準方程;
(2)是否存在與橢圓C交于A,B兩點的直線l:,使得成立?若存在,求出實數(shù)m的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】
給定橢圓,稱圓心在原點,半徑為的圓是橢圓C的“準圓”.若橢圓C的一個焦點為,其短軸上的一個端點到F的距離為.
(I)求橢圓C的方程和其“準圓”方程;
(II )點P是橢圓C的“準圓”上的一個動點,過點P作直線,使得與橢圓C都只有一個交點,且分別交其“準圓”于點M,N.
(1)當(dāng)P為“準圓”與軸正半軸的交點時,求的方程;
(2)求證:|MN|為定值.
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