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若橢圓的對稱軸在坐標軸上，短軸的一個端點與兩個焦點組成一個正三角形，焦點到橢圓上點的最短距離為
3
，則這個橢圓的方程為（　�。�
A、
x2
12
+
y2
9
=1
B、
x2
9
+
y2
12
=1
C、
x2
12
+
y2
9
=1或
x2
9
+
y2
12
=1
D、以上都不對
分析：根據橢圓的基本概念與正三角形的性質，可得b=
3
c．再由橢圓焦點到橢圓上點的最短距離為a-c=
3
，聯解得出a、b、c的值，即可得到所求橢圓的方程．
解答：精英家教網解：設短軸的一個端點為P，左右焦點分別為F1、F2，
∵△PF1F2為正三角形，
∴|OP|=
3
2
|F1F2|，可得b=
3
c，即
a2-c2
=
3
c．…①
又∵橢圓的焦點到橢圓上點的最短距離為
3
，
∴a-c=
3
，…②
聯解①②，可得a=2
3
，c=
3
，b=
a2-c2
=3．
因此a2=12且b2=9，可得橢圓的標準方程為
x2
12
+
y2
9
=1或
x2
9
+
y2
12
=1．
故選：C
點評：本題已知橢圓滿足的條件，求橢圓的標準方程．著重考查了正三角形的性質、橢圓的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）

現有變換公式：可把平面直角坐標系上的一點變換到這一平面上的一點.

（1）若橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，且焦距為，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2. 求該橢圓的標準方程，并求出其兩個焦點、經變換公式變換后得到的點和的坐標；

（2） 若曲線上一點經變換公式變換后得到的點與點重合，則稱點是曲線在變換下的不動點. 求（1）中的橢圓在變換下的所有不動點的坐標；

（3） 在（2）的基礎上，試探究：中心為坐標原點、對稱軸為坐標軸的橢圓和雙曲線在變換下的不動點的存在情況和個數.

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科目：高中數學 來源： 題型：

（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）

定義變換：可把平面直角坐標系上的點變換到這一平面上的點.特別地，若曲線上一點經變換公式變換后得到的點與點重合，則稱點是曲線在變換下的不動點.

（1）若橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，且焦距為，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2. 求該橢圓的標準方程. 并求出當時，其兩個焦點、經變換公式變換后得到的點和的坐標；

（2）當時，求（1）中的橢圓在變換下的所有不動點的坐標；

（3）試探究：中心為坐標原點、對稱軸為坐標軸的雙曲線在變換

：（，）下的不動點的存在情況和個數.

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科目：高中數學 來源：2014屆山西省高二上學期期末理科數學試卷（A）（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知橢圓的中心在坐標原點、對稱軸為坐標軸,且拋物線的焦點是它的一個焦點,又點在該橢圓上.

（1）求橢圓的方程;

（2）若斜率為直線與橢圓交于不同的兩點,當面積的最大值時，求直線的方程.

 

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科目：高中數學 來源：上海市普陀區(qū)2010屆高三第二次模擬考試理科數學試題 題型：解答題

（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）

定義變換：可把平面直角坐標系上的點變換到這一平面上的點.特別地，若曲線上一點經變換公式變換后得到的點與點重合，則稱點是曲線在變換下的不動點.

（1）若橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，且焦距為，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2. 求該橢圓的標準方程. 并求出當時，其兩個焦點、經變換公式變換后得到的點和的坐標；

（2）當時，求（1）中的橢圓在變換下的所有不動點的坐標；

（3）試探究：中心為坐標原點、對稱軸為坐標軸的雙曲線在變換

：（，）下的不動點的存在情況和個數.

 

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科目：高中數學 來源：上海市普陀區(qū)2010屆高三第二次模擬考試數學文 題型：解答題

（本題滿分18分，其中第1小題6分，第2小題4分，第3小題8分）

現有變換公式：可把平面直角坐標系上的一點變換到這一平面上的一點.

（1）若橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，且焦距為，長軸頂點和短軸頂點間的距離為2. 求該橢圓的標準方程，并求出其兩個焦點、經變換公式變換后得到的點和的坐標；

（2） 若曲線上一點經變換公式變換后得到的點與點重合，則稱點是曲線在變換下的不動點. 求（1）中的橢圓在變換下的所有不動點的坐標；

（3） 在（2）的基礎上，試探究：中心為坐標原點、對稱軸為坐標軸的橢圓和雙曲線在變換下的不動點的存在情況和個數.

 

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