【題目】已知以橢圓C：（a＞b＞0）的兩焦點與短軸的一個端點為頂點的三角形為等腰直角三角形，直線x+y+1＝0與以橢圓C的右焦點為圓心，橢圓的長半軸長為半徑的圓相切.

（1）求橢圓C的方程；

（2）矩形ABCD的兩頂點C、D在直線y＝x+2上，A、B在橢圓C上，若矩形ABCD的周長為，求直線AB的方程.

【答案】（1）；（2）y＝x+1或.

【解析】

（1）由兩焦點與短軸的一個端點為頂點的三角形為等腰直角三角形，得出，于是得出，然后利用圓心到直線的距離等于圓的半徑列出等式，并代入關系式可得出、、的值，即可得出橢圓的方程；（2）根據(jù)矩形對邊互相平行，設直線的方程為，并設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由得出的取值范圍，列出韋達定理，利用弦長公式得出的表達式，利用兩平行直線的距離公式得出直線和的距離，即為，再由列出有關的方程，即可求出的值，于是可得出直線的方程.

（1）由題意知，以橢圓C的右焦點為圓心，橢圓長半軸長為半徑的圓的方程為，

圓心到直線x+y+1＝0的距離，①

∵以橢圓C的兩焦點與短軸的一個端點為頂點的三角形為等腰直角三角形，

所以，b＝c，，代入①式得b＝c＝1，.

因此，所求橢圓的方程為；

（2）設直線AB的方程為y＝x+m，代入橢圓C的方程，整理得3x2+4mx+2m2﹣2＝0，

由△＞0，得，

設點A（x1，y1）、B（x2，y2），則，.

，易知，

則由知，

所以，由已知可得，即，

整理得41m2+30m﹣71＝0，解得m＝1或，

所以，直線AB的方程為y＝x+1或.

練習冊系列答案
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【題目】如圖，三棱柱中，，，，且平面⊥平面.

（1）求三棱柱的體積.

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（2）如果命題“”為真命題，且“”為假命題，求實數(shù)的取值范圍.

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（2）如圖（2）所示，雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，求此雙曲線的離心率．

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【題目】如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，E，F分別是棱AA′，CC′的中點，過直線E，F的平面分別與棱BB′、DD′交于M，N，設BM＝x，x∈[0，1]，給出以下四個命題：

①平面MENF⊥平面BDD′B′；

②當且僅當x＝時，四邊形MENF的面積最��；

③四邊形MENF周長L＝f（x），x∈[0，1]是單調函數(shù)；

④四棱錐C′﹣MENF的體積V＝h（x）為常函數(shù)；

以上命題中假命題的序號為（　　）

A. ①④B. ②C. ③D. ③④

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【題目】已知圓C過點M（0，-2）、N（3，1），且圓心C在直線x+2y+1=0上．

（1）求圓C的方程；

（2）設直線ax-y+1=0與圓C交于A，B兩點，是否存在實數(shù)a，使得過點P（2，0）的直線l垂直平分弦AB？若存在，求出實數(shù)a的值；若不存在，請說明理由．

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【題目】一只藥用昆蟲的產卵數(shù)y與一定范圍內的溫度x有關, 現(xiàn)收集了該種藥用昆蟲的6組觀測數(shù)據(jù)如下表：

溫度x/C

21

23

24

27

29

32

產卵數(shù)y/個

6

11

20

27

57

77

經計算得： ， ， ， ，

，線性回歸模型的殘差平方和，e8.0605≈3167，其中xi, yi分別為觀測數(shù)據(jù)中的溫度和產卵數(shù)，i=1, 2, 3, 4, 5, 6.

(Ⅰ)若用線性回歸模型，求y關于x的回歸方程=x+（精確到0.1）；

(Ⅱ)若用非線性回歸模型求得y關于x的回歸方程為=0.06e0.2303x，且相關指數(shù)R2=0.9522.

( i )試與(Ⅰ)中的回歸模型相比，用R2說明哪種模型的擬合效果更好.

( ii )用擬合效果好的模型預測溫度為35C時該種藥用昆蟲的產卵數(shù)（結果取整數(shù)）.

附：一組數(shù)據(jù)(x1,y1), (x2,y2), ...,(xn,yn ), 其回歸直線=x+的斜率和截距的最小二乘估計為

=；相關指數(shù)R2=．

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【題目】設集合A={（x，y）|（x-4）2+y2=1}，B={（x，y）|（x-t）2+（y-at+2）2=1}，如果命題“t∈R，A∩B≠”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

A.B.

C.D.,

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【題目】某公園準備在一圓形水池里設置兩個觀景噴泉，觀景噴泉的示意圖如圖所示，兩點為噴泉，圓心為的中點，其中米，半徑米，市民可位于水池邊緣任意一點處觀賞．

（1）若當時，，求此時的值；

（2）設，且．

（i）試將表示為的函數(shù)，并求出的取值范圍；

（ii）若同時要求市民在水池邊緣任意一點處觀賞噴泉時，觀賞角度的最大值不小于，試求兩處噴泉間距離的最小值．

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