【題目】如圖，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，A1D與AD1交于點(diǎn)E，AA1＝AD＝2AB＝4.

（1）證明：AE⊥平面ECD.

（2）求直線A1C與平面EAC所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）證明AA1⊥CD，CD⊥AD，推出CD⊥平面AA1D1D，得到CD⊥AE.證明AE⊥ED.即可證明AE⊥平面ECD；

（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法求解直線A1C與平面EAC所成角的正弦值.

（1）證明：因?yàn)樗睦庵?/span>ABCD﹣A1B1C1D1是直四棱柱，

所以AA1⊥平面ABCD，則AA1⊥CD.

又CD⊥AD，AA1∩AD＝A，平面AA1D1D，

所以CD⊥平面AA1D1D，所以CD⊥AE.

因?yàn)?/span>AA1⊥AD，AA1＝AD，所以AA1D1D是正方形，所以AE⊥ED.

又CD∩ED＝D，平面ECD.

所以AE⊥平面ECD.

（2）

如圖，以所在直線為軸，以所在直線為軸，以所在直線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，A1D與AD1交于點(diǎn)E，AA1＝AD＝2AB＝4.

A（0，0，0），A1（0，0，4），C（2，4，0），D（0，4，0），

所以E（0，2，2），，，（2，4，﹣4），

設(shè)平面EAC的法向量為（x，y，z），可得，

即，不妨（﹣2，1，-1），

所以直線A1C與平面EAC所成角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某工廠有25周歲以上（含25周歲）工人300名，25周歲以下工人200名.為了研究工人的日平均生產(chǎn)量是否與年齡有關(guān)，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名工人，先統(tǒng)計(jì)了他們某月的日平均生產(chǎn)件數(shù)，然后按工人年齡在“25周歲以上（含25周歲）”和“25周歲以下”分為兩組，再將兩組工人的日平均生產(chǎn)件數(shù)分成5組： ，分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）根據(jù)“25周歲以上組”的頻率分布直方圖，求25周歲以上組工人日平均生產(chǎn)件數(shù)的中位數(shù)的估計(jì)值（四舍五入保留整數(shù)）；

（2）從樣本中日平均生產(chǎn)件數(shù)不足60件的工人中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到一名“25周歲以下組”工人的概率；

（3）規(guī)定日平均生產(chǎn)件數(shù)不少于80件者為“生產(chǎn)能手”，請你根據(jù)已知條件完成列聯(lián)表，并判斷是否有 的把握認(rèn)為“生產(chǎn)能手與工人所在年齡組有關(guān)”？

生產(chǎn)能手

非生產(chǎn)能手

合計(jì)

25周歲以上組

25周歲以下組

合計(jì)

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

附：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)中，圓的方程為．

（1）寫出直線的普通方程和圓的直角坐標(biāo)方程；

（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，圓與直線交于兩點(diǎn)，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的離心率為，雙曲線的漸近線與橢圓的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離均為.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若點(diǎn)為橢圓上的動點(diǎn)，三點(diǎn)共線，直線的斜率分別為.

（i）證明：；

（ii）若，設(shè)直線過點(diǎn)，直線過點(diǎn)，證明：為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，點(diǎn)是以為直徑的圓上的動點(diǎn)（異于，），已知，，平面，四邊形為平行四邊形.

（1）求證：平面；

（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱柱中，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．

（1）證明：平面；

（2）若，，求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若過點(diǎn)的直線與曲線相切，求直線的斜率的值；

（2）設(shè)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線：的焦點(diǎn)為，直線：與拋物線交于，兩點(diǎn).

（1）若，求直線的方程；

（2）過點(diǎn)作直線交拋物線于，兩點(diǎn)，若線段，的中點(diǎn)分別為，，直線與軸的交點(diǎn)為，求點(diǎn)到直線與距離和的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列：A：a1，a2，…，an，B：b1，b2，…，bn.已知ai，bj∈{0，1}（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n），定義n×n數(shù)表，其中xij.

（1）若A：1，1，1，0，B：0，1，0，0，寫出X（A，B）；

（2）若A，B是不同的數(shù)列，求證：n×n數(shù)表X（A，B）滿足“xij=xji（i=1，2，…，n；j=1，2，…，n；ij）”的充分必要條件為“ak+bk=1（k=1，2，…，n）”；

（3）若數(shù)列A與B中的1共有n個，求證：n×n數(shù)表X（A，B）中1的個數(shù)不大于.

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