Question

15．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x+1），x∈[0，1）}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}-3x+\frac{7}{2}，x∈[1，+∞）}\end{array}\right.$，則關(guān)于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和為1-2^a．

Answer 1

分析 利用奇函數(shù)性質(zhì)作出函數(shù)的圖象，依次標(biāo)出零點(diǎn)，根據(jù)對稱性得到零點(diǎn)的值滿足x₁+x₂，x₄+x₅的值，運(yùn)用對數(shù)求解x₃滿足：log₂（x₃+1）=-a，可出x₃，可求解有根之和．

解答 解：∵f（x）為定義在R上的奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x），
∵當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x+1），x∈[0，1）}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}-3x+\frac{7}{2}，x∈[1，+∞）}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{\frac{1}{2}}（1-x），（-1＜x＜0）}\\{-\frac{1}{2}{x}^{2}-3x-\frac{7}{2}，（x≤-1）}\end{array}\right.$
作出圖象：
∵關(guān)于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的根轉(zhuǎn)化為f（x）的圖象與y=-a（0＜a＜1）圖象的交點(diǎn)問題．
從圖象上依次零點(diǎn)為：x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，
根據(jù)對稱性得到零點(diǎn)的值滿足x₁+x₂=-6，x₄+x₅=6，
x₃滿足：log${\;}_{\frac{1}{2}}$（1-x₃）=-a，
解得：${x}_{3}=1-{2}^{a}$
故得x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=1-2^a
故答案為：1-2^a．

點(diǎn)評 本題考查了分段函數(shù)性質(zhì)，圖象以及應(yīng)用，考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的交點(diǎn)問題，屬于中檔題．