Question

設(shè)函數(shù).
（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線，證明:切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

Answer 1

（1）減區(qū)間為,增區(qū)間，（2），（3）詳見解析.

試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，有四個(gè)步驟.一是求出定義域：，二是求導(dǎo)數(shù)，三是分析導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化情況：，四是根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)寫出對(duì)應(yīng)單調(diào)區(qū)間：減區(qū)間為,增區(qū)間.（2）已知函數(shù)單調(diào)性研究參數(shù)范圍問題，通常轉(zhuǎn)化為恒成立問題. 因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以對(duì)任意恒成立.而恒成立問題又利用變量分離法解決,即對(duì)任意恒成立. 因此（3）求切點(diǎn)問題，從設(shè)切點(diǎn)出發(fā)，利用切點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)等于切線斜率列等量關(guān)系：.解這類方程，仍需利用導(dǎo)數(shù)分析其單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理解決.
試題解析：解: （1）時(shí), ，
 ，                  1分
，
的減區(qū)間為,增區(qū)間.                3分
（2）
在區(qū)間上是減函數(shù)，
對(duì)任意恒成立，
即對(duì)任意恒成立，                5分
對(duì)任意恒成立，
令，
，                                       7分
易知在單調(diào)遞減，.
.                                            8分
（3）設(shè)切點(diǎn)為，，
切線的斜率，又切線過原點(diǎn)，
，
存在性：滿足方程，
所以，是方程的根.                  11分
再證唯一性：設(shè)，，
在單調(diào)遞增，且，
所以方程有唯一解.
綜上，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.                              13分