Question

11．如圖，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB=PA=2BC=2，M為PB的中點(diǎn)．
（1）求證：AM⊥平面PBC；
（2）求點(diǎn)M到平面PAC的距離．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直與判定的性質(zhì)定理即可得出：AM⊥BC．由PA=AB，利用等腰三角形的性質(zhì)可得AM⊥PB，再利用線面垂直的判定定理即可證明．
（2）連接MC，設(shè)M到平面PAC的距離為d，利用V_M-PAC=V_C-PAM，即d•S_△PAC=BC•S_△PAM，即可得出．

解答 （1）證明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，
∵BC⊥AB，PA∩AB=A，BC⊥平面PAB，
又AM?平面PAB，∴AM⊥BC．
∵PA=AB，M為PB的中點(diǎn)，∴AM⊥PB，
又PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC．
（2）解：連接MC，設(shè)M到平面PAC的距離為d，
∵S_△PAM=$\frac{1}{2}$S_△PAB=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2$=1．
S_△PAC=$\frac{1}{2}×2×AC$=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
又∵V_M-PAC=V_C-PAM，
∴d•S_△PAC=BC•S_△PAM，
即$\sqrt{5}$d=1，
∴d=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、等腰三角形的性質(zhì)、三棱錐的體積計(jì)算公式、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．