Question

【題目】已知拋物線E：y2＝8x，圓M：(x－2)2＋y2＝4，點(diǎn)N為拋物線E上的動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段ON的中點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)點(diǎn)Q(x0，y0)(x0≥5)是曲線C上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)Q作圓M的兩條切線，分別與x軸交于A，B兩點(diǎn)，求△QAB面積的最小值.

Answer 1

【答案】(1) y2＝4x;(2) .

【解析】

試題分析: (1)利用代入法求出曲線方程;(2)設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0).圓心到切線的距離為半徑,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列出等式,整理成關(guān)于k的一元二次方程,根據(jù)韋達(dá)定理表示出面積,利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值.

試題解析:(1)設(shè)P(x，y)，則點(diǎn)N(2x，2y)在拋物線E：y2＝8x上，∴4y2＝16x，∴曲線C的方程為y2＝4x.

(2)設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0).

令y＝0，得x＝x0－.

圓心(2，0)到切線的距離d＝＝2，

整理得(x－4x0)k2＋(4y0－2x0y0)k＋y－4＝0.

設(shè)兩條切線的斜率分別為k1，k2，則k1＋k2＝，k1k2＝.

∴△QAB面積S＝·|y0|＝

y＝2·.

設(shè)t＝x0－1∈[4，＋∞)，則S＝f(t)＝2在[4，＋∞)上單調(diào)遞增，且f(4)＝，

∴f(t)≥，即△QAB面積的最小值為.