Question

（2012•河南模擬）在平面直角坐標系xOy中，動點P到兩點（0，-

3

），（0，

3

）的距離之和等于4，設(shè)點P的軌跡為C，已知直線y=kx+l與C交于A、B兩點．
（I）寫出C的方程；
（Ⅱ）若以AB為直徑的圓過原點0，求k的值；
（Ⅲ）若點A在第一象限，證明：當k＞0時，恒有|OA|＞|OB|．

Answer 1

分析：（I）動點P到兩點（0，-

3

），（0，

3

）的距離之和等于4，由橢圓的定義知此動點的軌跡應(yīng)為橢圓，從而可得動點的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由以AB為直徑的圓過原點0，可得OA⊥OB，從而x₁x₂+y₁y₂=0，將直線y=kx+l代入橢圓方程，消元可得一元二次方程，利用韋達定理，即可求k的值；
（Ⅲ）用坐標表示出|

OA

|2-|

OB

|2，利用點A在第一象限，k＞0，即可證得結(jié)論．

解答：（I）解：設(shè)P（x，y），
∵動點P到兩點（0，-

3

），（0，

3

）的距離之和等于4
∴由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以（0，-

3

），（0，

3

）為焦點，長半軸為2的橢圓．它的短半軸b=

4-3

=1，故曲線C的方程為x2+

y2

4

=1．
（Ⅱ）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由以AB為直徑的圓過原點0，可得OA⊥OB，∴x₁x₂+y₁y₂=0
將直線y=kx+l代入橢圓方程，消元可得（4+k²）x²+2kx-3=0
∴x₁+x₂=-

2k

4+k2

，x₁x₂=-

3

4+k2

∴y₁y₂=（kx₁+l）（kx₂+l）=

4-4k2

4+k2

∴-

3

4+k2

+

4-4k2

4+k2

=0
∴k2=

1

4

，∴k=±

1

2

；
（Ⅲ）證明：|

OA

|2-|

OB

|2=（x12+y12）-（x22+y22）=x12-x22+y12-y22=

6k(x1-x2)

4+k2

∵點A在第一象限，∴x₁＞0
∵x₁x₂=-

3

4+k2

，∴x₂＜0
∴x₁-x₂＞0
∵k＞0，∴

6k(x1-x2)

4+k2

＞0，
∴恒有|OA|＞|OB|．

點評：本題考查了利用定義法求動點的軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查不等式的證明，關(guān)鍵要理解好橢圓定義的條件，正確運用韋達定理進行解題．