13.確定函數(shù)y=x+$\frac{1}{x}$(x>0)在區(qū)間(1,+∞)的單調(diào)性,并用定義證明.

分析 可設(shè)任意的x1>x2>1,然后作差,通分,提取公因式,從而可得出y1>y2,這樣即得出函數(shù)$y=x+\frac{1}{x}$在區(qū)間(1,+∞)上的單調(diào)性.

解答 解:設(shè)x1>x2>1,則:
${y}_{1}-{y}_{2}={x}_{1}+\frac{1}{{x}_{1}}-{x}_{2}-\frac{1}{{x}_{2}}$=$({x}_{1}-{x}_{2})(1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}})$;
∵x1>x2>1;
∴x1-x2>0,$\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}<1,1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}}>0$;
∴$({x}_{1}-{x}_{2})(1-\frac{1}{{x}_{1}{x}_{2}})>0$;
∴y1>y2
∴$y=x+\frac{1}{x}$在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增.

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)單調(diào)性的定義,以及根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義判斷和證明一個(gè)函數(shù)單調(diào)性的方法和過程.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

3.已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)B,F(xiàn)為其右焦點(diǎn),若AF⊥BF,設(shè)∠ABF=α,且α∈[$\frac{π}{6}$,$\frac{π}{4}$],則該橢圓離心率e的取值范圍為$[\frac{{\sqrt{2}}}{2},\sqrt{3}-1]$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

4.已知數(shù)列{an}中,an=$\frac{1}{(n+1)^{2}}$,記f(n)=(1-a1)(1-a2)…(1-an),試計(jì)算f(1),f(2),f(3)的值,推測f(n)的表達(dá)式為f(n)=$\frac{n+2}{2(n+1)}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.已知橢圓C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的離心率e=$\frac{1}{2}$,且點(diǎn)$(1,\frac{3}{2})$在橢圓上,
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知A為橢圓C的左頂點(diǎn),直線l過右焦點(diǎn)F2與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),若AM,AN的斜率k1,k2滿足k1+k2=-1,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

8.已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足x2+2y2+3z2=4,設(shè)T=xy+yz,則T的取值范圍是(  )
A.[$-\frac{\sqrt{6}}{3}$,$\frac{\sqrt{6}}{3}$]B.[$-\frac{\sqrt{6}}{6}$,$\frac{2\sqrt{6}}{3}$]C.[$-\frac{\sqrt{6}}{3}$,$\frac{\sqrt{3}}{3}$]D.[$-\frac{2\sqrt{6}}{3}$,$\frac{2\sqrt{6}}{3}$]

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

18.已知函數(shù)f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x(x≥0)}\\{2x{-x}^{2}(x<0)}\end{array}\right.$,函數(shù)g(x)=|f(x)|-1,若g(2-a2)>g(a),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  )
A.(-2,1)B.(-∞,-2)U(2,+∞)C.(-2,2)D.(-∞,-2)U(-1,1)U(2,+∞)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

5.對(duì)于集合{a1,a2,…,an}和常數(shù)a0,定義:w=$\frac{sin({a}_{1}-{a}_{0})^{2}+sin({a}_{2}-{a}_{0})^{2}+…+sin({a}_{n}-{a}_{0})^{2}}{n}$為集合{a1,a2,…,an}相對(duì)于a0的“正弦方差”,則集合{$\frac{π}{2}$,$\frac{5π}{6}$,$\frac{7π}{6}$}相對(duì)a0的“正弦方差”為(  )
A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{{a}_{0}}{4}$D.$\frac{{a}_{0}}{3}$

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.已知Sn是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,S4、S2、S3成等差數(shù)列,且a2+a3+a4=-18.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

3.命題“?x∈R,x2-4<0或x2-4x>0”的否定為( 。
A.?x∈R,x2-4≥0或x2-4x≤0B.?x∈R,x2-4≥0且x2-4x≤0
C.?x∈R,x2-4≥0或x2-4x≤0D.?x∈R,x2-4≥0且x2-4x≤0

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