Question

設(shè)函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且f(

x

y

)=f(x)-f(y)．
（1）求f（1）；
（2）求證f（xy）=f（x）+f（y）；
（3）若f（2）=1，解不等式f(x)-f(

1

x-3

)≤2．

Answer 1

分析：（1）結(jié)合所給的抽象表達(dá)式，只需令x=y≠0即可獲得問(wèn)題的解答；
（2）結(jié)合抽象表達(dá)式用xy代替x，y不變，即可獲得f(xy)-f(y)=f(

xy

y

)=f(x)轉(zhuǎn)化即可獲得問(wèn)題的解答；
（3）首先利用數(shù)值的搭配計(jì)算f（4）=2，進(jìn)而對(duì)不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，且
f（1）=0，f（2）=1，于是f（2）＞f（1），進(jìn)而可分析出函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，結(jié)合變性后的抽象函數(shù)即可獲得自變量x的要求，進(jìn)而問(wèn)題即可獲得解答．

解答：解：（1）令x=y≠0，可得f（1）=f（x）-f（x）=0，
∴f（1）=0．
（2）由題意得：f(xy)-f(y)=f(

xy

y

)=f(x)，
∴f（xy）=f（x）+f（y）．
（3）f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=2，∴f(x)-f(

1

x-3

)≤2=f(4)，
∴f（x（x-3））≤f（4），
因?yàn)椋篺（1）=0，f（2）=1，于是f（2）＞f（1），
而函數(shù)y=f（x）是定義在（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，
故函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)增函數(shù)，
于是原不等式可化為

x(x-3)≤4 x＞0 1 x-3 ＞0

，∴3＜x≤4
∴原不等式的解集為（3，4]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是抽象函數(shù)及其應(yīng)用的綜合類(lèi)問(wèn)題．在解答的過(guò)程當(dāng)中充分體現(xiàn)了定義域優(yōu)先的原則、特值的思想、轉(zhuǎn)化的思想以及計(jì)算和解不等式組的能力．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．