Question

【題目】將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍（縱坐標(biāo)不變），再將所得的圖象向左平移 個(gè)單位長度后得到函數(shù)f（x）的圖象
（1）寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若對(duì)任意的x∈[﹣ ， ]，f2（x）﹣mf（x）﹣1≤0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）求實(shí)數(shù)a和正整數(shù)n，使得F（x）=f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2017個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）解：把函數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的 倍（縱坐標(biāo)不變），可得y=sin2x的圖象；

再將所得的圖象向左平移 個(gè)單位長度后得到函數(shù)f（x）=sin2（x+ ）=sin（2x+ ）的圖象，

故函數(shù)f（x）的解析式為 f（x）=sin（2x+ ）．

（2）解：若對(duì)任意的x∈[﹣ ， ]，2x+ ∈[0， ]，f（x）=sin（2x+ ）∈[0，1]，f2（x）﹣mf（x）﹣1≤0恒成立，

令t=f（x）∈[0，1]，則g（t）=t2﹣mt﹣1≤0恒成立，故有g(shù)（0）=﹣1≤0，且 g（1）=﹣m≤0，解得m≥0．

（3）解：∵F（x）=f（x）﹣a在[0，nπ]上恰有2017個(gè)零點(diǎn)，故f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上恰有2017個(gè)交點(diǎn)．

在[0，π]上，2x+ ∈[ ， ]．

①當(dāng)a＞1，或a＜﹣1時(shí)，f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上無交點(diǎn)．

②當(dāng)a=1，或a=﹣1時(shí)，f（x）的圖象和直線y=a在[0，π]僅有一個(gè)交點(diǎn)，

此時(shí)，f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上恰有2017個(gè)交點(diǎn)，則n=2017．

③當(dāng)﹣1＜a＜ ，或 ＜a＜1時(shí)，f（x）的圖象和直線y=a在[0，π]上恰有2個(gè)交點(diǎn)，

f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上有偶數(shù)個(gè)交點(diǎn)，不會(huì)有2017個(gè)交點(diǎn)．

④當(dāng)a= 時(shí)，f（x）的圖象和直線y=a在[0，π]上恰有3個(gè)交點(diǎn)，

此時(shí)，n=1008，才能使f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上有2017個(gè)交點(diǎn)．

綜上可得，當(dāng)a=1，或a=﹣1時(shí)，n=2017；當(dāng)a= 時(shí)，此時(shí)，n=1008．

【解析】（1）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得f（x）的解析式．（2）令t=f（x）∈[0，1]，則g（t）=t2﹣mt﹣1≤0恒成立，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得g（0）=﹣1≤0，且 g（1）=﹣m≤0，由此解得m的范圍．（3）由題意可得f（x）的圖象和直線y=a在[0，nπ]上恰有2017個(gè)交點(diǎn)，分類討論，求得a、n的值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換(圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象)．