Question

【題目】已知橢圓 的離心率為 ，且過點 ．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）四邊形ABCD的頂點在橢圓上，且對角線AC、BD過原點O，若 ． （i） 求 的最值；
（ii） 求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意 ， ，又a2=b2+c2，

解得：a2=8，b2=4，

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）解：設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，再設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），

聯(lián)立 ，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．

△=（4m）2﹣4（1+2k2）（2m2﹣8）=8（8k2﹣m2+4）＞0…①

，

∵ ，∴ ，

∴ ，

= ，

∴ ，得4k2+2=m2．

（i） = ．

∴﹣2=2﹣4 ．

當(dāng)k=0（此時m2=2滿足①式），即直線AB平行于x軸時， 的

最小值為﹣2．

又直線AB的斜率不存在時， ，

∴ 的最大值為2；

（ii）設(shè)原點到直線AB的距離為d，則

=

= ．

∴

【解析】（1）與已知列關(guān)于a，b，c的方程組，求解方程組可得a，b的值，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求；（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx+m，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由 可得k與m的關(guān)系．（i）由數(shù)量積的坐標(biāo)運算把 化為含有k的代數(shù)式求得最值；（ii）首先求出△AOB的面積，乘以4即可求得四邊形ABCD的面積．