Question

已知函數(shù)f（x）=ax+blnx．
（1）當(dāng)x=2時(shí)f（x）取得極小值2-2ln2，求a，b的值；
（2）當(dāng)b=-1時(shí)，若在區(qū)間（0，e]上至少存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（1）求導(dǎo)函數(shù)可得：f'（x）=a+

b

x

∵當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得極小值2-2ln2，
∴f'（2）=0，f（2）=2-2ln2
∴2a+b=0，2a+bln2=2-2ln2
∴a=1，b=-2
此時(shí)f'（x）=1-

2

x

當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f'（x）＜0；當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0
∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得極小值
∴a=1，b=-2
（2）b=-1時(shí)，f（x）=ax-lnx，求導(dǎo)函數(shù)可得f'（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

若在區(qū)間（0，e]上至少存在一點(diǎn)x₀，使得f（x₀）＜0成立，則f（x）=ax-lnx在區(qū)間（0，e]上的最小值＜0
①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0恒成立，f（x）在區(qū)間（0，e]上遞減
由f（x）_min=f（e）=ae-1＜0得a＜

1

e

，∴a≤0符合題意
②當(dāng)0＜

1

a

＜e，即a＞

1

e

時(shí)，x∈（0，

1

a

），f'（x）＜0，f（x）遞減；x∈（

1

a

，e），f'（x）＞0，f（x）遞增
∴f（x）_min=f（

1

a

）=1-ln

1

a

=1+lna
由lna+1＜0得a＜

1

e

，矛盾
③當(dāng)

1

a

≥e，即0＜a≤

1

e

時(shí)，f（x）在（0，e]上為減函數(shù)，f（x）_min=f（e）=ae-1＜0
∴0＜a＜

1

e

綜上所述，符合條件的a的取值范圍是a＜

1

e

．