Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，對(duì)一切正整數(shù)，點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，記與的等差中項(xiàng)為.

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（Ⅲ）設(shè)集合，，等差數(shù)列的任意一項(xiàng)，其中是中的最小數(shù)，且，求的通項(xiàng)公式.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)都在函數(shù)的圖像上，可得，再寫(xiě)出，兩式相減，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）先確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和；

（Ⅲ）先確定,再確定是公差為4的倍數(shù)的等差數(shù)列，利用，可得，由此可得的通項(xiàng)公式.

（Ⅰ）點(diǎn)都在函數(shù)的圖象上，

，

當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足上式，

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.

（Ⅱ）為與的等差中項(xiàng)

.

①

由①，得②

①②得：

（Ⅲ），

，是中的最小數(shù)，.

是公差為4的倍數(shù)的等差數(shù)列，.

又，，解得.

所以，

設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，

，

.