Question

5．近年來(lái)我國(guó)電子商務(wù)行業(yè)迎來(lái)蓬勃發(fā)展新機(jī)遇，2016年雙11期間，某網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái)推銷(xiāo)了A，B，C三種商品，某網(wǎng)購(gòu)者決定搶購(gòu)這三種商品，假設(shè)該名網(wǎng)購(gòu)者都參與了A，B，C三種商品的搶購(gòu)，搶購(gòu)成功與否相互獨(dú)立，且不重復(fù)搶購(gòu)?fù)环N商品，對(duì)A，B，C三件商品搶購(gòu)成功的概率分別為a，b，$\frac{1}{4}（{a＞b}）$，已知三件商品都被搶購(gòu)成功的概率為$\frac{1}{24}$，至少有一件商品被搶購(gòu)成功的概率為$\frac{3}{4}$．
（1）求a，b的值；
（2）若購(gòu)物平臺(tái)準(zhǔn)備對(duì)搶購(gòu)成功的A，B，C三件商品進(jìn)行優(yōu)惠減免，A商品搶購(gòu)成功減免2百元，B商品搶購(gòu)成功減免4比百元，C商品搶購(gòu)成功減免6百元．求該名網(wǎng)購(gòu)者獲得減免總金額（單位：百元）的分別列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意利用相互獨(dú)立及其對(duì)立事件的概率計(jì)算公式可得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}ab=\frac{1}{24}}\\{1-（1-a）（1-\frac{1}{4}）（1-b）=\frac{3}{4}}\end{array}}\right.$．
（Ⅱ）由題意，令網(wǎng)購(gòu)者獲得減免的總金額為隨機(jī)變量X（單位：百元），則X的值可以為0，2，4，6，8，10，12．再利用相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由題意，得$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}ab=\frac{1}{24}}\\{1-（1-a）（1-\frac{1}{4}）（1-b）=\frac{3}{4}}\end{array}}\right.$，
因?yàn)閍＞b，解得$\left\{{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=\frac{1}{3}}\end{array}}\right.$．                    …（4分）
（Ⅱ）由題意，令網(wǎng)購(gòu)者獲得減免的總金額為隨機(jī)變量X（單位：百元），
則X的值可以為0，2，4，6，8，10，12．         …（5分）
而$P（X=0）=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$；$P（X=2）=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$；$P（X=4）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}=\frac{1}{8}$；$P（X=6）=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}=\frac{5}{24}$；$P（X=8）=\frac{1}{2}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$；$P（X=10）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{24}$；$P（X=12）=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}=\frac{1}{24}$．                   …（9分）
所以X的分布列為：

X	0	2	4	6	8	10	12
P	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{8}$	$\frac{5}{24}$	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{24}$	$\frac{1}{24}$

于是有$E（X）=0×\frac{1}{4}+2×\frac{1}{4}+4×\frac{1}{8}+6×\frac{5}{24}+8×\frac{1}{12}+10×\frac{1}{24}+12×\frac{1}{24}=\frac{23}{6}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立及其對(duì)立事件的概率計(jì)算公式、分布列及其數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．