Question

數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和是S_n，存在常數(shù)A，B使a_n+S_n=An+B對任意正整數(shù)n都成立．
（1）設(shè)A=0，求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，若p＜q，且，求p，q的值．
（3）設(shè)A＞0，A≠1，且對任意正整數(shù)n都成立，求M的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）A=0時(shí)，a_n+S_n=B，得出當(dāng)n≥2時(shí)，由條件得，a_n-a_n-1+（S_n-S_n-1）=0即，從而有數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的公差為d，分別令n=1，2，3得關(guān)于A，B，C的方程，解得A，B，C．從而得出等差數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，結(jié)合題中條件得出關(guān)于p，q的方程即可求得求p，q的值；
（Ⅲ）當(dāng)n=1時(shí)，得到B=2-A所以a_n+S_n=An+（2-A），當(dāng)n≥1時(shí)，由題意得出數(shù)列{a_n-A}是公比為的等比數(shù)列，下面對A進(jìn)行分類討論：①當(dāng)A＞1時(shí)②當(dāng)0＜A＜1時(shí)．利用不等式的放縮即可得出M的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）A=0時(shí)，a_n+S_n=B，
當(dāng)n≥2時(shí)，由，{得，a_n-a_n-1+（S_n-S_n-1）=0
即，所以，數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．（4分）
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的公差為d，分別令n=1，2，3得：，
{，即，{，解得，{，
即等差數(shù)列{a_n}是常數(shù)列，所以S_n=n；（7分）
又，則，pq-11p-11q=0，（p-11）（q-11）=11²，
因p＜q，所以，解得．（10分）
（Ⅲ）當(dāng)n=1時(shí)，2=A+B，所以B=2-A
所以a_n+S_n=An+（2-A），
當(dāng)n≥1時(shí)，由，{
得a_n+1-a_n+（S_n+1-S_n）=A，
即
所以，又a₁-A≠0
即數(shù)列{a_n-A}是公比為的等比數(shù)列，
所以，即，（12分）
，
①當(dāng)A＞1時(shí)
且的值隨n的增大而減小，
即…，
所以，，即M的取值范圍是；（14分）
②當(dāng)0＜A＜1時(shí)
且的值隨n的增大而增大，
即…＜2，
所以，M≥2，
綜上即M的取值范圍是[2，+∞）．（16分）
點(diǎn)評：本小題主要考查等比關(guān)系的確定、數(shù)列與不等式的綜合、不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．