Question

15．某商場(chǎng)銷售某種品牌的空調(diào)器，每周周初購(gòu)進(jìn)一定數(shù)量的空調(diào)器，商場(chǎng)每銷售一臺(tái)空調(diào)器可獲利500元，若供大于求，則每臺(tái)多余的空調(diào)器需交保管費(fèi)100元；若供不應(yīng)求，則可從其他商店調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每臺(tái)空調(diào)器僅獲利潤(rùn)200元．
（Ⅰ）若該商場(chǎng)周初購(gòu)進(jìn)20臺(tái)空調(diào)器，求當(dāng)周的利潤(rùn)（單位：元）關(guān)于當(dāng)周需求量n（單位：臺(tái)，n∈N）的函數(shù)解析式f（n）；
（Ⅱ）該商場(chǎng)記錄了去年夏天（共10周）空調(diào)器需求量n（單位：臺(tái)），整理得表：

周需求量n	18	19	20	21	22
頻數(shù)	1	2	3	3	1

以10周記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率，若商場(chǎng)周初購(gòu)進(jìn)20臺(tái)空調(diào)器，X表示當(dāng)周的利潤(rùn)（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （I）對(duì)n分類討論，利用利潤(rùn)與周需求量的關(guān)系即可得出．
（II）利用頻率估計(jì)概率，利用隨機(jī)變量的分布列即可得出．

解答 解：（I）當(dāng)n≥20時(shí)，f（n）=500×20+200×（n-20）=200n+6000，
當(dāng)n≤19時(shí)，f（n）=500×n-100×（20-n）=600n-2000，
∴$f（n）=\left\{{\begin{array}{l}{200n+6000（n≥20）}\\{600n-2000\;\;\;（n≤19）}\end{array}}\right.（n∈N）$．
（ II）由（1）得f（18）=8800，f（19）=9400，f（20）=10000，f（21）=10200，f（22）=10400，
∴P（X=8800）=0.1，P（X=9400）=0.2，P（X=10000）=0.3，P（X=10200）=0.3，P（X=10400）=0.1，
X的分布列為

X	8800	9400	10000	10200	10400
P	0.1	0.2	0.3	0.3	0.1

∴EX=8800×0.1+9400×0.2+10000×0.3+10200×0.3+10400×0.1=9860．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利潤(rùn)與需求量的關(guān)系、頻率估計(jì)概率、隨機(jī)變量的分布列及其期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．