Question

（本小題滿分14分）

已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．圓.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓C有且只有一個公共點，且與圓相交于兩點，

問是否成立？請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）不成立.

【解析】

試題分析：（1）由離心率為，可得：，由橢圓經(jīng)過點，可得：，即可得橢圓的方程；（2）先將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，可得，利用，可得，再求出點的坐標，進而可得點不是線段的中點，即可得不成立.

試題解析：（1）【解析】
∵ 橢圓過點，

∴ . 1分

∵， 2分

∴． 3分

∴橢圓的方程為. 4分

（2）解法1：由（1）知，圓的方程為，其圓心為原點. 5分

∵直線與橢圓有且只有一個公共點，

∴方程組 （*） 有且只有一組解．

由（*）得． 6分

從而,化簡得．① 7分

，. 9分

∴ 點的坐標為. 10分

由于，結合①式知，

∴. 11分

∴ 與不垂直. 12分

∴ 點不是線段的中點. 13分

∴不成立. 14分

解法2：由（1）知，圓的方程為，其圓心為原點. 5分

∵直線與橢圓有且只有一個公共點，

∴方程組 （*） 有且只有一組解．

由（*）得． 6分

從而,化簡得．① 7分

， 8分

由于，結合①式知，

設,線段的中點為,

由消去,得. 9分

∴ . 10分

若,得 ,化簡得,矛盾. 11分

∴ 點與點不重合. 12分

∴ 點不是線段的中點. 13分

∴ 不成立. 14分

考點：1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線.