Question

定義在實數集R上的函數f（x），如果存在函數g（x）=Ax+B（A、B為常數），使得f（x）≥g（x）對一切實數x都成立，那么稱g（x）為函數f（x）的一個承托函數．給出如下四個命題：①對于給定的函數f（x），其承托函數可能不存在，也可能有無數個；②定義域和值域都是R的函數f（x）不存在承托函數；③g（x）=2x為函數f（x）=|3x|的一個承托函數；④g(x)=

1

2

x為函數f（x）=x²的一個承托函數．其中正確的命題有______．

Answer 1

①如f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1）就是它的一個承托函數，且有無數個，再如y=tanx．y=lgx就沒有承托函數，∴命題①正確；
②f（x）=2x+3的定義域和值域都是R，存在一個承托函數y=2x+1，故命題②不正確；
③令F（x）═|3x|-2x=

x   x≥0 -5x    x＜0

，
可見在x≥0時，函數F（x）單調遞增，最小值F（0）=0，
在x＜0時，函數F（x）單調遞減，最小值大于F（0）=0，
∴F（x）≥0在R上恒成立，符合定義
∴命題③正確；
④x=1時，g（1）=

1

2

，f（1）=1，顯然g（1）＜f（1），
當x=

1

4

時，g（

1

4

）=

1

8

，f（

1

4

）=

1

16

，顯然g（

1

4

）＞f（

1

4

），
命題④不正確．
故答案為：①③