Question

設(shè)P的軌跡是曲線C，滿足：點P到F（-2，0）的距離與它到直線l：x=-4的距離之比是常數(shù)，又點M(2，-

2

)在曲線C上，點N（-1，1）在曲線C的內(nèi)部．
（1）求曲線C的方程；
（2）|PN|+

2

|PF|的最小值，并求此時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P（x，y）的坐標(biāo)，利用點P到F（-2，0）的距離與它到直線l：x=-4的距離之比是常數(shù)，得到圓的表達式，點M(2，-

2

)在曲線C上，求出離心率，推出軌跡方程．
（2）利用（1）的離心率，求出|PN|+

2

|PF|的表達式，然后確定最小值．

解答：解：（1）設(shè)P（x，y）則由題意可得

(x+2)2+y2

|x+4|

=e
因為M(2，-

2

)在曲線C上，所以

(2+2)2+(- 2 )2

|2+4|

=e
則e=

2

2

，所以

(x+2)2+y2

|x+4|

=

2

2

，化簡得

x2

8

+

y2

4

=1
所以曲線C的方程為

x2

8

+

y2

4

=1
（2）由（1）可得曲線C為橢圓且離心率e=

2

，設(shè)點P到準(zhǔn)線l：x=-4的距離為d
所以

|PF|

d

=

2

2

，d=

2

|PF|
所以|PN|+

2

|PF|=|PN|+d，
所以|PN|+

2

|PF|的最小值為|-1-（-4）|=3，此時點P的坐標(biāo)為（-

6

，1)

點評：本題是中檔題，考查橢圓軌跡方程的求法，橢圓離心率的應(yīng)用，考查計算能力，高考常考題型．