Question

（理科）若數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+2n，若b_n=

2

(2n-1)an

，記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，則使T_n＞

9

10

成立的最小正整數(shù)n的值為

5

．

Answer 1

分析：利用a_n=S_n-S_n-1，即可確定數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，從而可得{b_n}的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法，即可求得結(jié)論．

解答：解：由題意，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1
∵a₁=S₁=3，符合上式，∴a_n=2n+1
∴b_n=

2

(2n-1)an

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

∴T_n=1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

∵T_n＞

9

10

，∴1-

1

2n+1

＞

9

10

∵2n＞9，
∴使T_n＞

9

10

成立的最小正整數(shù)n的值為5
故答案為：5

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查裂項(xiàng)法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．