【題目】已知函數(shù).
(1)若函數(shù)的最小值為2,求的值;
(2)當(dāng)時,證明:.
【答案】(1).(2)見解析
【解析】
(1)由題可知,的定義城為,且,分類討論參數(shù),當(dāng)和當(dāng),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,得出當(dāng)時,,取得最小值,結(jié)合已知的最小值為2,即可求出的值;
(2)當(dāng),結(jié)合第(1)可知,將證明轉(zhuǎn)化為只要證,構(gòu)造新函數(shù),通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而得出當(dāng)時,,即,即可證明出.
解:(1)的定義城為,
且,
函數(shù)的最小值為2,
若,則,于是在上單調(diào)遞增,
故無最小值,不合題意,
若,則當(dāng)時,;當(dāng)時,,
故在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
于是當(dāng)時,,取得最小值,
由已知得,解得.
綜上可知.
(2)∵由(1)得,當(dāng)時,取得最小值,
所以當(dāng)時,取得最小值,即,
則,即:,
由題知,當(dāng)時,證明:,
∴要證,只要證,
∴令,則,
∴當(dāng)時,,
所以在上單調(diào)遞增.
∴當(dāng)時,,即,
∴當(dāng)時,不等式成立.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的圖象的一條對稱軸為,其中為常數(shù),且,給出下述四個結(jié)論:
①函數(shù)的最小正周期為;
②將函數(shù)的圖象向左平移所得圖象關(guān)于原點對稱;
③函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增;
④函數(shù)在區(qū)間上有個零點.
其中所有正確結(jié)論的編號是( )
A.①②B.①③C.①③④D.①②④
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=lg(x+1).
(1)若0<f(1-2x)-f(x)<1,求實數(shù)x的取值范圍;
(2)若g(x)是以2為周期的偶函數(shù),且當(dāng)0≤x≤1時,有g(x)=f(x),當(dāng)x∈[1,2]時,求函數(shù)y=g(x)的解析式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為促進(jìn)全面健身運動,某地跑步團(tuán)體對本團(tuán)內(nèi)的跑友每周的跑步千米數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計,隨機抽取的100名跑友,分別統(tǒng)計他們一周跑步的千米數(shù),并繪制了如圖頻率分布直方圖.
(1)由頻率分布直方圖計算跑步千米數(shù)不小于70千米的人數(shù);
(2)已知跑步千米數(shù)在的人數(shù)是跑步千米數(shù)在的,跑步千米數(shù)在的人數(shù)是跑步千米數(shù)在的,現(xiàn)在從跑步千米數(shù)在的跑友中抽取3名代表發(fā)言,用表示所選的3人中跑步千米數(shù)在的人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)的定義域為,如果存在非零常數(shù),對于任意,都有,則稱函數(shù)是“似周期函數(shù)”,非零常數(shù)為函數(shù)的“似周期”.現(xiàn)有下面四個關(guān)于“似周期函數(shù)”的命題:
①如果“似周期函數(shù)”的“似周期”為,那么它是周期為2的周期函數(shù);
②函數(shù)是“似周期函數(shù)”;
③如果函數(shù)是“似周期函數(shù)”,那么“或”.
以上正確結(jié)論的個數(shù)是( )
A.0B.1C.2D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一袋中有大小、形狀相同的2個白球和10個黑球,從中任取一球.如果取出白球,則把它放回袋中;如果取出黑球,則該球不再放回,另補一個白球放到袋中.在重復(fù)次這樣的操作后,記袋中的白球個數(shù)為.
(1)求;
(2)設(shè),求;
(3)證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司計劃購買1臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.在購進(jìn)機器時,可以一次性額外購買幾次維修服務(wù),每次維修服務(wù)費用200元,另外實際維修一次還需向維修人員支付小費,小費每次50元.在機器使用期間,如果維修次數(shù)超過購機時購買的維修服務(wù)次數(shù),則每維修一次需支付維修服務(wù)費用500元,無需支付小費.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時一次性購買幾次維修服務(wù),為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù),得下面統(tǒng)計表:
維修次數(shù) | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
頻數(shù) | 10 | 20 | 30 | 30 | 10 |
記表示1臺機器在三年使用期內(nèi)的維修次數(shù),表示1臺機器在維修上所需的費用(單位:元),表示購機的同時購買的維修服務(wù)次數(shù).
(1)若,求與的函數(shù)解析式;
(2)若要求“維修次數(shù)不大于”的頻率不小于0.8,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年開始,國家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,采用3+3模式,其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目,滿分各150分,另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求,結(jié)合自己的興趣愛好等因素,在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試(6選3),每科目滿分100分.為了應(yīng)對新高考,某高中從高一年級1000名學(xué)生(其中男生550人,女生 450 人)中,采用分層抽樣的方法從中抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.
(1)已知抽取的名學(xué)生中含女生45人,求的值及抽取到的男生人數(shù);
(2)學(xué)校計劃在高一上學(xué)期開設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個科目,為了了解學(xué)生對這兩個科目的選課情況,對在(1)的條件下抽取到的名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在這兩個科目中必須選擇一個科目且只能選擇一個科目),下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表. 請將列聯(lián)表補充完整,并判斷是否有 99%的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由;
(3)在抽取的選擇“地理”的學(xué)生中按分層抽樣再抽取6名,再從這6名學(xué)生中抽取2人了解學(xué)生對“地理”的選課意向情況,求2人中至少有1名男生的概率.
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |
參考公式:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①,在等腰梯形中,,,分別為,的中點,,為中點現(xiàn)將四邊形沿折起,使平面平面,得到如圖②所示的多面體在圖②中,
(1)證明:;
(2)求二面角的余弦值。
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