【題目】已知橢圓C:(a>b>0)的離心率為 ,若圓x2+y2=a2被直線x﹣y﹣=0截得的弦長(zhǎng)為2

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)已知點(diǎn)A、B為動(dòng)直線y=k(x﹣1),k≠0與橢圓C的兩個(gè)交點(diǎn),問(wèn):在x軸上是否存在定點(diǎn)M,使得 為定值?若存在,試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和定值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析:

(1)由題意求得a,b的值可得橢圓方程為;

(2)聯(lián)立直線與橢圓的方程,結(jié)合題意可得,存在點(diǎn) 滿足 為定值 .

試題解析:

解:(I)圓x2+y2=a2的圓心(0,0)到直線x﹣y﹣=0的距離d==1,

2=2,解得a2=2,又=,a2=b2+c2,

聯(lián)立解得:a2=2,c=1=b.

∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為: +y2=1.

(II)假設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)M(m,0),使得為定值.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立,化為:(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣2=0,

x1+x2=,x1x2=

=(x1﹣m,y1)(x2﹣m,y2)=(x1﹣m)(x2﹣m)+y1y2=(x1﹣m)(x2﹣m)+k2(x1﹣1)(x2﹣1)=(1+k2)x1x2﹣(m+k2)(x1+x2+m2+k2

=(1+k2﹣(m+k2+m2+k2

=,

2m2﹣4m+1=2(m2﹣2),解得m=

因此在x軸上存在定點(diǎn)M(,0),使得為定值

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(2)若函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)﹣2(ex+x),試判斷函數(shù)F(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由;
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A. B. C. D. 乙和丙都有可能

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1)若Tx=fxgx),m=1,求Tx)在[0,1]上的最大值;

2)若m=,nN*,求使fx)的圖象恒在gx)圖象上方的最大正整數(shù)n[注意:7e2]

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A.
B.
C.
D.

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